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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 14.5 - Ex. 20

f (x , y) = x^2 y + e^(x y) sen y , P_0 (1 , 0)

Passo 1

Oi Oi pessoal!

Para encontrar as direções que a função aumenta ou diminui e suas taxas de aumento ou decrescimento, precisamos calcular o gradiente de f. Começaremos calculando a derivada de f no ponto P_0 , após isso iremos encontrar o versor do gradiente de f. E, por fim, a taxa de crescimento ou decrescimento.

Simbora!

Passo 2

Calculando as derivadas parciais:

f_x = (del f)/(del x) = (del [x^2 y + e^(x y) sen y])/(del x) = (del [x^2 y])/(del x) + (del [ e^(x y) sen y ])/(del x)

f_x = 2 x y + y e^(x y) sen y

f_y = (del f)/(del y) = (del [x^2 y + e^(x y) sen y])/(del y) = (del [x^2 y])/(del y) + (del [ e^(x y) sen y ])/(del y)

Aplicando a regra da derivada do produto no 2º termo:

f_y = x^2 + x e^(x y) sen y + e^(x y) cos y

Passo 3

Agora, aplicando no ponto P_0 ( 1 , 0 ) :

f_x_( 1,0 ) = 2 x y + y e^(x y) sen y = 2 * 1 * 0 + 0 * e^(1 * 0) * sen 0 = 0

f_y_( 1,0 ) = x^2 + x e^(x y) sen y + e^(x y) cos y = 1^2 + 1 * e^(1 * 0) sen 0 + e^(1 * 0) cos 0 = 1 + 0 + 1 = 2

Então, o gradiente é:

grad f (​|_( 1,0 ) = f_x + f_y = 2 j

Passo 4

Ok, pessoal! Agora vamos calcular o versor de grad f

|grad f| = sqrt(2^2) = 2

Então, o versor de grad f que vamos chamar de w é:

w = (grad f)/(|grad f|) = (2)/(2) j = 1 j

De acordo com a teoria do livro, f cresce mais rapidamente na direção e sentido de grad f e decresce mais rapidamente na direção e sentido de - grad f . Ou seja, na direção de w dado um ponto P_0 a função aumenta rapidamente e na direção de - w . Onde:

- w = - j

Passo 5

Portanto, as derivadas das funções nessas direções, ou melhor, a taxa de aumento e decrescimento são:

|grad f| = sqrt(2^2) = 2

- |grad f| = - 2

Resposta

R e s p o s t a n o s p a s s o s

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