f (x , y) = x^2 y + e^(x y) sen y , P_0 (1 , 0)

R e s p o s t a n o s p a s s o s

f (x , y) = x^2 y + e^(x y) sen y , P

Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 14.5 - Ex. 20

Passo 1

Oi Oi pessoal!

Para encontrar as direções que a função aumenta ou diminui e suas taxas de aumento ou decrescimento, precisamos calcular o gradiente de f. Começaremos calculando a derivada de f no ponto , após isso iremos encontrar o versor do gradiente de f. E, por fim, a taxa de crescimento ou decrescimento.

Simbora!

Passo 2

Calculando as derivadas parciais:

Aplicando a regra da derivada do produto no 2º termo:

Passo 3

Agora, aplicando no ponto :

Então, o gradiente é:

Passo 4

Ok, pessoal! Agora vamos calcular o versor de

Então, o versor de que vamos chamar de é:

De acordo com a teoria do livro, cresce mais rapidamente na direção e sentido de e decresce mais rapidamente na direção e sentido de . Ou seja, na direção de dado um ponto a função aumenta rapidamente e na direção de . Onde:

Passo 5

Portanto, as derivadas das funções nessas direções, ou melhor, a taxa de aumento e decrescimento são:

Resposta

Exercícios de Livros Relacionados

Nos exercícios 7 a 17, calcular o gradiente do campo escalar dado.13. f x ,y = a r ct gx y .

Nos exercícios 7 a 17, calcular o gradiente do campo escalar dado.10. f x ,y ,z = x y z .

Nos exercícios 7 a 17, calcular o gradiente do campo escalar dado.14. f x ,y = 2 x x - y .

Nos exercícios 7 a 17, calcular o gradiente do campo escalar dado.15. f x ,y ,z = 2 x y + y z 2 + ln ⁡ z .

Nos exercícios 7 a 17, calcular o gradiente do campo escalar dado.16. f x ,y ,z = x + y z .