f (x , y) = x^2 + x y + y^2 , P_0 (- 1,1)

R e s p o s t a n o s p a s s o s

f (x , y) = x^2 + x y + y^2 , P

Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 14.5 - Ex. 19

Passo 1

Galerinha, tudo beleza?

Para encontrar as direções que a função aumenta ou diminui e suas taxas de aumento ou decrescimento, precisamos calcular o gradiente de f. Começaremos calculando a derivada de f no ponto , após isso iremos encontrar o versor do gradiente de f. E, por fim, a taxa de crescimento ou decrescimento.

Vamos lá!

Passo 2

Calculando as derivadas parciais:

Passo 3

Agora, aplicando no ponto :

Então, o gradiente é:

Passo 4

Ok, pessoal! Agora vamos calcular o versor de

Então, o versor de que vamos chamar de é:

De acordo com a teoria do livro, cresce mais rapidamente na direção e sentido de e decresce mais rapidamente na direção e sentido de . Ou seja, na direção de dado um ponto a função aumenta rapidamente e na direção de . Onde:

Passo 5

As derivadas das funções nessas direções, ou melhor, a taxa de aumento e decrescimento são:

Resposta

Exercícios de Livros Relacionados

Determinar o vetor gradiente das funções dadas nos pontos indicados:h) z = x 2 + y 2s e n( x 2 + y 2 ) ; P 0,0

Nos exercícios 7 a 17, calcular o gradiente do campo escalar dado.7. f x ,y ,z = x y + x z + y z .

Nos exercícios 7 a 17, calcular o gradiente do campo escalar dado.17. f x ,y ,z = z e x 2 - y .

Nos exercícios 18 a 24, representar geometricamente o campo gradiente definido pela função dada:19. u x ,y = 2 x + 4 y .

Nos exercícios 7 a 17, calcular o gradiente do campo escalar dado.8. f x ,y ,z = x 2 + 2 y 2 + 4 z 2 .