Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 14.5 - Ex. 19

f (x , y) = x^2 + x y + y^2 , P_0 (- 1,1)

Passo 1

Galerinha, tudo beleza?

Para encontrar as direções que a função aumenta ou diminui e suas taxas de aumento ou decrescimento, precisamos calcular o gradiente de f. Começaremos calculando a derivada de f no ponto P_0 , após isso iremos encontrar o versor do gradiente de f. E, por fim, a taxa de crescimento ou decrescimento.

Vamos lá!

Passo 2

Calculando as derivadas parciais:

f_x = (del f)/(del x) = (del [x^2 + x y + y^2])/(del x) = (del [x^2])/(del x) + (del [ x y ])/(del x) + (del [ y^2 ])/(del x)

f_x = 2 x + y

f_y = (del f)/(del y) = (del [x^2 + x y + y^2])/(del y) = (del [x^2])/(del y) + (del [ x y ])/(del y) + (del [ y^2 ])/(del y)

f_y = x + 2 y

Passo 3

Agora, aplicando no ponto P_0 ( - 1,1 ) :

f_x_( - 1,1 ) = 2 x + y = 2 * (- 1) + 1 = - 1

f_y_( - 1,1 ) = x + 2 y = (- 1) + 2 * 1 = 1

Então, o gradiente é:

grad f (​|_( - 1,1 ) = f_x + f_y = - 1 i + 1 j

Passo 4

Ok, pessoal! Agora vamos calcular o versor de grad f

|grad f| = sqrt(( - 1 )^2 + 1^2) = sqrt(2)

Então, o versor de grad f que vamos chamar de w é:

w = (grad f)/(|grad f|) = (- 1)/(sqrt(2)) i + (1)/(sqrt(2)) j

De acordo com a teoria do livro, f cresce mais rapidamente na direção e sentido de grad f e decresce mais rapidamente na direção e sentido de - grad f . Ou seja, na direção de w dado um ponto P_0 a função aumenta rapidamente e na direção de - w . Onde:

- w = - ((- 1)/(sqrt(2)) i + (1)/(sqrt(2)) j) = (1)/(sqrt(2)) i - (1)/(sqrt(2)) j

Passo 5

As derivadas das funções nessas direções, ou melhor, a taxa de aumento e decrescimento são:

|grad f| = sqrt(( - 1 )^2 + 1^2) = sqrt(2)

- |grad f| = sqrt((- 1)^2 + 1^2) = - sqrt(2)

Resposta

R e s p o s t a n o s p a s s o s

Exercícios de Livros Relacionados

Determinar o vetor gradiente das funções dadas nos pontos indicados:h) z = x 2 + y 2s e n( x 2 + y 2 ) ; P 0,0
Nos exercícios 7 a 17, calcular o gradiente do campo escalar dado.7. f x ,y ,z = x y + x z + y z .
Nos exercícios 7 a 17, calcular o gradiente do campo escalar dado.17. f x ,y ,z = z e x 2 - y .
Nos exercícios 18 a 24, representar geometricamente o campo gradiente definido pela função dada:19. u x ,y = 2 x + 4 y .
Nos exercícios 7 a 17, calcular o gradiente do campo escalar dado.8. f x ,y ,z = x 2 + 2 y 2 + 4 z 2 .