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Enunciado

Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 7.2 - Ex. 4

4. int_0^((pi)/(2)) sen^5 x d x

Passo 1

Fala cara, beleza?! Vamos resolver esse B.O. aí juntos.

Queremos

int_0^((pi)/(2)) sen^5 x d x

Mas essa integral pode ser escrita como

int_0^((pi)/(2)) sen^4 x * sen x d x

Certo?! Que também pode ser escrita como:

int_0^((pi)/(2)) (sen^2 x)^2 * sen x d x

Certo?! Nada demais até aqui. Mas você deve estar se perguntando, “pra que isso?!”, e eu te respondo. Fizemos isso pra podermos aplicar uma identidade trigonométrica e logo depois fazer uma substituição simples, assim vamos conseguir resolver, olha só.

Passo 2

Temos que:

sen^2 x + cos^2 x = 1 -> sen^2 x = 1 - cos^2 x

Essa aí é a identidade trigonométrica que te falei. Vamos substituir na integral, assim:

int_0^((pi)/(2)) (1 - cos^2 x)^2 * sen x d x

Vamos agora chamar u = cos x , logo, teremos que d x = - (d u)/(sen x) , assim:

- int (1 - u^2)^2 d u = - int 1 - 2 u^2 + u^4 d u

Resolvendo essa integral, teremos:

- int 1 - 2 u^2 + u^4 d u = - u + (2 u^3)/(3) - (u^5)/(5) + C

Vamos substituir agora u = cos x , e aplicar os intervalos da integral, assim:

|- cos x + (2 cos^3 x)/(3) - (cos^5 x)/(5)|_0^((pi)/(2)) = (8)/(15)

Resposta

(8)/(15)

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