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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 7.3 - Ex. 57b

Sejam m e n inteiros não negativos e distintos. Use as Fórmulas (16) a (18) para provar:

∫ 0 2 π cos ⁡ m x cos ⁡ n x d x = 0

Passo 1

Como temos só o cosseno, a fórmula que a gente precisa usar é essa:

c o s   α cos ⁡ β = 1 2 c o s α - β + c o s   α + β

E olhando para integral que a gente tem:

α = m x

β = n x

Substituindo o valor de alfa e beta na fórmula:

c o s   m x cos ⁡ n x = 1 2 c o s m - n x + c o s   m + n x

Voltando na integral:

∫ 0 2 π cos ⁡ m x cos ⁡ n x d x = 1 2 ∫ 0 2 π c o s   m - n x d x + 1 2 ∫ 0 2 π c o s   m + n x d x

Vamos calcular cada uma separado.

Passo 2

Na primeira, podemos usar a substituição:

u = m - n x

d u d x = m - n ∴ d u m - n = d x

Aí a integral fica:

∫ 0 2 π c o s   m - n x = ∫ c o s   u m - n d u = s e n   u m - n = 1 m - n ( sen ⁡ m - n x | 2 π 0

= 1 m - n sen ⁡ m - n 2 π - sen ⁡ m - n 0  

Mas lembra que 0 e 2 π são pontos coincidentes, e que como n e m são inteiros, m - n 2 π também vai ser um ponto coincidente com 0 . Por isso:

sen ⁡ m - n 2 π = sen ⁡ m - n 0

E a integral fica:

∫ 0 2 π c o s   m + n x = 1 m - n sen ⁡ m - n 2 π - sen ⁡ m - n 0 = 0

Passo 3

Já na segunda, podemos usar a substituição:

u = m + n x

d u d x = m + n ∴ d u m + n = d x

Aí a integral fica:

∫ 0 2 π c o s   m + n x = ∫ c o s   u m + n d u = s e n   u m + n = 1 m + n ( sen ⁡ m + n x | 2 π 0

= 1 m + n sen ⁡ m + n 2 π + sen ⁡ m + n 0  

Mas lembra de novo que 0 e 2 π são pontos coincidentes, e que como n e m são inteiros, m + n 2 π também vai ser um ponto coincidente com 0 . Por isso:

sen ⁡ m + n 2 π = sen ⁡ m + n 0

E a integral fica:

∫ 0 2 π c o s   m + n x = 1 m + n sen ⁡ m + n 2 π - sen ⁡ m + n 0 = 0

Vimos que as duas integrais zeram, então:

∫ 0 2 π sen ⁡ m x cos ⁡ n x d x = 1 2 ∫ 0 2 π s e n   m - n x d x + 1 2 ∫ 0 2 π s e n   m + n x d x = 0

Resposta

Prova nos passos.

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