Encontre a fórmula para .

34.

Como ele quer a n-ésima derivada a gente tem que ir derivando e tentar enxergar um padrão que vai se repetindo (aqui a gente usa a regra da divisão):

Se a gente derivar mais uma vez:

A primeira derivada ali é zero e a segunda a gente tem que usar a regra da cadeia:

E denovo:

A primeira derivada vai ser denovo 0 e a segunda vai precisar da regra da cadeia:

Vamos derivar mais uma vez, para a gente conseguir enxergra bem o que acontece:

Agora podemos fazer algumas observações:

Cada vez que a gente deriva o sinal muda então no termo geral da derivada vai ter que ter um termo assim:

Se o n é impar, fica negativo, se for par, fica positivo.

Cada vez que deriva multiplica um 5 no numerador, então no numerador tem que aparecer esse termo:

Além disso um numero maior sempre aparece multiplicando no numerador, percebe que na quarta derivada já temos: , que é equivalente a escrever:

E por último, a potência do numerador é sempre um numero maior que a derivada, dessa forma nossa expressão geral fica: