Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 3.9 - Ex. 44
30-47 Encontre a derivada.
44.
Passo 1
Fala meu linduxo,
Queremos nessa questão encontrar a derivada da seguinte expressão:
Para encontrar essa derivada vamos precisar usar a regra do produto, pois temos o produto de duas funções, ali no primeiro fator.
Além dela, vamos precisar da regra da cadeia,pois temos a composição de duas funções, isso é, uma função dentro de outra, isso ocorre ali no .
Para deriva-la, a gente faz a derivada da função de fora e multiplica pela função de dentro:
E por fim, vamos lembrar que a derivada da função Arco Tangente Hiperbólico ) é a seguinte:
Passo 2
Aplicando a derivada a esse equação:
A derivada da soma é a soma das derivadas:
Para resolver a primeira derivada devemos usar a regra do produto:
A derivada da função inversa da tangente hiperbólica é , então:
E substituindo na expressão original, temos:
Passo 3
Já para derivar esse outro termo que sobrou devemos aplicar a regra da cadeia, ela diz que quando temos uma “função dentro da outra”:
e queremos derivá-la, a gente faz a derivada da função de fora e multiplica pela derivada da função de dentro:
Usando os termos da nossa função, podemos escrever:
Só que repara, para resolver a derivada que ficou sobrando, temos novamente uma composição de funções, por que ali eu tenho uma raíz e dentro dela eu tenho outra função. Sabemos que a derivada da raíz é:
Dessa forma, vamos resolver usando a regra da cadeia de novo:
Voltando agora para a derivada do ln, teremos:
E agora, posso retornar para a expressão original que era: