Quais das sequências cujos n-ésimos termos aparecem nos Exercícios 1-18 convergem? E quais divergem? Encontre o limite de cada uma das sequências convergentes.

4. a_n = 1 + 0,9^n

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

No início do problema, observe que a n é definido como a soma de uma sequência constante e uma sequência geométrica com quociente igual a q = 0,1 . A sequência { a n } converge se o limite

lim n → ∞ ⁡ a n

existe e é igual a algum número finito (esse número deve ser único). A sequência diverge se o limite (1) não existir ou for igual a .

Passo 2

Observe como a convergência de { a n } depende da expressão ( 0,9 ) n porque 1 é permanentemente fixo, independentemente do número que você considera para n .

Quando n vai para o infinito, então a expressão 0,9 n vai para 0 porque exponenciando um número com valor absoluto menor que 1, obtemos um número que se aproxima de 0, ou seja

lim n → ∞ ⁡ 0,9 n = 0

Basicamente usamos o limite frequentemente usado:

lim n → ∞ ⁡ x n = 0

No nosso caso, temos que x = 0,9 e com a condição 0,9 < 1 . Como

lim n → ∞ ⁡ 1 = 1

Então, de acordo com a regra da soma de limites, nós temos que

lim n → ∞ ⁡ a n = lim n → ∞ ⁡ 1 + 0,9 n = lim n → ∞ ⁡ 1 + lim n → ∞ ⁡ 0,9 n = 1 + 0 = 1

Como o limite é único e igual a um número finito, concluímos que a sequência { a n } converge.

Resposta

a n   c o n v e r g e   e   lim n → ∞ ⁡ a n = 1

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