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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 10.Exercícios práticos - Ex. 16

Quais das sequências cujos n-ésimos termos aparecem nos Exercícios 1-18 convergem? E quais divergem? Encontre o limite de cada uma das sequências convergentes.

16. a n = 2 n + 1 n

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

A sequência { a n } converge se o limite

lim n → ∞ ⁡ a n   ( 1 )

existe e é igual a algum número finito (esse número deve ser único). A sequência diverge se o limite (1) não existir ou for igual a ∞ . Como a sequência a n é dada por

a n = 2 n + 1 1 n

Então, quando n se aproxima do infinito, a n ​ leva à forma indeterminada ∞ 0 (porque 1 n ​ vai para 0 e 2 n + 1 vai para o infinito).

Podemos aplicar a regra de L'Hospital se tomarmos o logaritmo natural de a n ​:

ln ⁡ a n = ln ⁡ 2 n + 1 1 n = 1 n ∙ ln ⁡ 2 n + 1 = ln ⁡ 2 n + 1 n   ( 2 )

Para colocar o expoente 1 n ​ na frente do logaritmo, usamos a seguinte propriedade da função logarítmica:

log a ⁡ M r = r log a ⁡ M

Passo 2

Se atuarmos na expressão (2) com o limite, obtemos:

lim n → ∞ ⁡ ln ⁡ a n = lim n → ∞ ⁡ ln ⁡ 2 n + 1 n     ( 3 )

Como o limite (3) leva à forma indeterminada ∞ ∙ ∞ que é adequada para a regra de L' Hospital, vamos diferenciar o numerador e o denominador separadamente:

lim n → ∞ ⁡ ln ⁡ a n = lim n → ∞ ⁡ 1 2 n + 1 ∙ 2 n + 1 ' 1 = lim n → ∞ ⁡ 2 n + 1 = 0

Como a função logarítmica é contínua, então o limite e a função logarítmica comutam:

ln ⁡ lim n → ∞ ⁡ a n = 0

Usando a propriedade da função logarítmica, obtemos que

log a ⁡ x = y ↔ x = a y

Obtemos que a avaliação do limite lim n → ∞ ⁡ a n é igual a:

lim n → ∞ ⁡ a n = e 0 = 1

Como o limite é único e igual a um número finito, concluímos que a sequência { a n } converge.

Resposta

a n   c o n v e r g e   e   lim n → ∞ ⁡ a n = e 0 = 1

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