Enunciado
Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 10.Exercícios práticos - Ex. 3
Quais das sequências cujos n-ésimos termos aparecem nos Exercícios 1-18 convergem? E quais divergem? Encontre o limite de cada uma das sequências convergentes.
3.
Passo 1
Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!
No início da tarefa, para facilitar nossa vida (obviamente), vamos escrever o enésimo termo dividindo a fração em duas frações:
A sequência converge se o limite
existe e é igual a algum número finito (esse número deve ser único). A sequência diverge se o limite (1) não existir ou for igual a .
Passo 2
Observe como a convergência de depende da expressão porque 1 é permanentemente fixo, não importa o número que você tome para .
Quando vai para o infinito, então a expressão vai para porque exponenciando um número com valor absoluto menor que 1, obtemos um número que se aproxima de 0, ou seja,
Ou seja, usamos o limite frequentemente usado:
No nosso caso, temos que e . Desde que
E
Agora vamos usar a regra da diferença de limites, que nos dará o resultado de
Como o limite é único e igual a um número finito, concluímos que a sequência converge.