Quais das sequências cujos n-ésimos termos aparecem nos Exercícios 1-18 convergem? E quais divergem? Encontre o limite de cada uma das sequências convergentes.

3. a_n = (1 - 2^n) / (2^n)

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

No início da tarefa, para facilitar nossa vida (obviamente), vamos escrever o enésimo termo a n dividindo a fração em duas frações:

a n = 1 2 n - 2 n 2 n = 1 2 n - 1

A sequência { a n } converge se o limite

lim n → ∞ ⁡ a n

existe e é igual a algum número finito (esse número deve ser único). A sequência diverge se o limite (1) não existir ou for igual a .

Passo 2

Observe como a convergência de a n depende da expressão 1 2 n porque 1 é permanentemente fixo, não importa o número que você tome para n .

Quando n vai para o infinito, então a expressão 1 2 n vai para 0 porque exponenciando um número com valor absoluto menor que 1, obtemos um número que se aproxima de 0, ou seja,

lim n → ∞ ⁡ 1 2 n = 0

Ou seja, usamos o limite frequentemente usado:

lim n → ∞ ⁡ x n = 0 ,   x < 1

No nosso caso, temos que x = 1 2 e 1 2 < 1 . Desde que

lim n → ∞ ⁡ 1 2 n = 0

E

lim n → ∞ ⁡ 1 = 1

Agora vamos usar a regra da diferença de limites, que nos dará o resultado de lim n → ∞ ⁡ a n

lim n → ∞ ⁡ a n = lim n → ∞ ⁡ 1 2 n - 1 = lim n → ∞ ⁡ 1 2 n - lim n → ∞ ⁡ 1 = 0 - 1 = - 1

Como o limite é único e igual a um número finito, concluímos que a sequência { a n } converge.

Resposta

a n   c o n v e r g e   e   lim n → ∞ ⁡ a n = - 1

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