Encontre as somas das séries nos Exercícios 19-24.

19.

Pelas condições do problema, sabemos que o enésimo termo da série é dado por:

Para facilitar a determinação da enésima soma parcial, dividiremos em frações parciais (alguns membros da soma serão reduzidos então). No denominador contém dois fatores, então a fração pode ser dividida em duas partes separadas. Os fatores no denominador são lineares, então colocamos constantes no numerador:

Desenvolvendo os termos, nós temos que

Duas frações com o mesmo denominador são iguais somente se seus numerais forem iguais. Portanto, concluímos da expressão (2) que a seguinte igualdade deve valer:

Dois polinômios são iguais se os coeficientes na frente de e são iguais:

Multiplicando a segunda equação por 2 e somando com a primeira, obtemos:

Incluindo na segunda equação, obtemos:

Se incluirmos os coeficientes ​ e na expressão (2), obtemos que o enésimo termo da série é:

Vamos determinar a soma do primeiro n-ésimo termo da série (n-ésima soma parcial). Observe como a soma na série começa em . Portanto, a soma da enésima soma parcial começará de :

Se chamarmos o primeiro e o último três termos da soma de (3), obtemos:

Observe que na soma (4) todos os termos vizinhos são reduzidos e apenas o primeiro e o último termos permanecem:

Para determinar se a ordem converge ou diverge, avaliaremos o seguinte limite:

Incluindo a fórmula da enésima soma parcial (5) no limite anterior, obtemos:

Quando se aproxima do infinito então a fração ​ vai para 0, então a avaliação do limite (6) é:

Como o limite da enésima soma parcial é um número finito (e é igual a 1/6​), concluímos que a sequência de somas parciais converge. E então, de acordo com a definição da série, a série ​ também converge.

E então a soma da série ​ é igual ao limite da enésima soma parcial, e escrevemos como: