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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 10.Exercícios práticos - Ex. 13

Quais das sequências cujos n-ésimos termos aparecem nos Exercícios 1-18 convergem? E quais divergem? Encontre o limite de cada uma das sequências convergentes.

13. a n = 3 n n n

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

No início da tarefa, vamos simplificar a notação do enésimo termo da sequência a n :

a n = 3 n n n n = 3 n n

A sequência { a n } converge se o limite

lim n → ∞ ⁡ a n   ( 1 )

existe e é igual a algum número finito (esse número deve ser único). A sequência diverge se o limite (1) não existir ou for igual a ∞ .

Passo 2

O numerador do enésimo termo a n ​ é um número constante. Assim, quando n se aproxima do infinito, o denominador se aproxima do número 3:

lim n → ∞ ⁡ 3 = 3     2

Para poder concluir o que acontece com o denominador de a n ​ quando n se aproxima do infinito, vamos nos lembrar de um limite especial:

lim n → ∞ ⁡ n n = 1

Portanto, concluímos que o denominador de a n tende a 1 quando n se aproxima do infinito. Para determinar se a sequência { a n } converge ou diverge, aplicaremos a regra do quociente para limite. A regra do quociente para o limite afirma que, se houver limites

lim n → ∞ ⁡ a n = A   e   lim n → ∞ ⁡ b n = B

Portanto, nós temos que

lim n → ∞ ⁡ a n b n = A B ,     B ≠ 0

Como os limites do numerador e do denominador são números finitos, podemos aplicar a regra do quociente para limite ao limite

lim n → ∞ ⁡ a n = lim n → ∞ ⁡ 3 n n = lim n → ∞ ⁡ 3 lim n → ∞ ⁡ n n = 3 1 = 3

Como o limite é único e igual a um número finito, concluímos que a sequência { a n } converge.

Resposta

a n   c o n v e r g e   e   lim n → ∞ ⁡ a n = 3

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