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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 10.1 - Ex. 97

Sequências definidas recursivamente: Nos Exercícios 91-98, assuma que cada sequência convirja e encontre o limite.

97. 2,2 + 1 2 ,   2 + 1 2   +   1 2 , 2   + 1 2   +   1 2   +   1 2 ,   ⋯

Passo 1

Fala, pessoal! Ficou confuso com essa questão? Então, vem comigo!

A primeira coisa que temos que fazer é notar que na verdade a sequência tem uma fórmula de recursão:

a 1 = 2 , a 2 = 2 + 1 2 = 2 + 1 a 1 , a 3 = 2 + 1 a 2 ,   ⋯   ⇒ a n + 1 = 2 + 1 a n    

Beleza! Agora a gente vai seguir a recomendação do enunciado e assumir que a sequência converge para um limite L . Ou seja,

l i m n → ∞ a n = L

Passo 2

Agora, a gente vai aplicar esse limite em ambos os lados da equação de recursão:

l i m n → ∞ a n + 1 = 2 + l i m n → ∞ 1 a n = 2 + 1 l i m n → ∞ a n

⇒ L = 2 + 1 L ⇒ L = 2 L + 1 L

⇒ L 2 - 2 L - 1 = 0 ⇒ ( L - 1 ) 2 = 0

⇒ L = 1

Ou seja, a sequência converge para L = 1 . É isso aí galera, eu vou ficar por aqui. Até mais!

Resposta

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