Sequências definidas recursivamente: Nos Exercícios 91-98, assuma que cada sequência convirja e encontre o limite.

94. a_1 = 0, a_{n+1} = raiz(8 + 2a_n)

Passo 1

Fala, galera! Preparados para mais uma questão? Então, vem comigo!

Assumindo que a sequência converge para algum valor L quer dizer que

l i m n   →   ∞ a n = L

Como a raíz quadrada é uma função contínua, nós podemos tomar o limite dos dois lados da equação recursiva e o limite pode “entrar” na raíz quadrada:

l i m n   →   ∞ a n + 1 = l i m n   →   ∞ 8 + 2 a n = 8 + 2 l i m n   →   ∞ a n

L = 8 + 2 L

Passo 2

Pronto! Agora a gente tem que resolver essa equação para L :

L = 8 + 2 L ⇒ L 2 = 8 + 2 L

⇒ L 2 - 2 L - 8 = 0

⇒ ( L - 4 ) ( L + 2 ) = 0

Então podemos ter L = - 2 ou L = 4 . Como a gente tá sempre considerando que o resultado da raíz é positivo, o valor L = - 2 não é possível. Assim, o limite da sequência é L = 4 .

Resposta

4

Exercícios de Livros Relacionados

Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite.a_n = n * sen(1/n)
Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite.{arctg(2n)}
Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite.a_n = cos(2 / n)
Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite.{n * cos(n * pi)}
Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite.a_n = n! / (2^n)