Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.1 - Ex. 70
(a) Se for convergente, mostre que
(b) Uma sequência é definida por e para . Supondo que é convergente, encontre seu limite.
Passo 1
Beleza, pessoal?
Bom, aqui termos duas partes da questão:
A letra (a) pede para nós uma demonstração da igualdade:
Para demonstrar isso vamos precisar usar a Definição 2 desse livro, que diz basicamente que:
Uma sequência tem limite e escrevemos
se para cada existir um inteiro correspondente tal que se
então
Já a letra (b) pede para calcular o limite de . Porém, só temos os valores de e , então o truque aqui é que vamos usar justamente essa igualdade que provamos no item (a) para encontrarmos esse limite.
Essa questão tem uma linguagem bem matemática, mas não tem para onde correr. É assim mesmo que funcionam demonstrações matemáticas 😉
Vamos para o passo a passo?
Passo 2
- A partir da definição 2:
Tomamos . Isso significa que para cada existe um inteiro tal que sempre que . Aplicando a mesma lógica para , temos que sempre que , que pode ser reescrito como .
Isso mostra que , ou seja, o limite de é o mesmo que o limite de quando tende ao infinito.
Passo 3
(b) Pra encontrar o limite dessa sequência, a gente usa a relação de recorrência, tomando o seu limite:
Agora vamos usar o que provamos no item anterior:
Então,
Passo 4
Show! Pra ficar mais fácil de visualizar o que estamos fazendo, vamos denotar:
Então:
Isolando as incógnitas :
Como é uma equação quadrada, vamos isolar o 1 para ficarmos com o formato:
As raízes dessa equação quadrática são:
Como não é possível que a sequência tenha números negativos, então a gente elimina a raiz negativa e ficamos com:
Resposta
(b)