Quais das séries nos Exercícios 17-54 convergem? E quais divergem? Utilize qualquer método e justifique suas respostas.

∑ n = 1 ∞ n n n 2

Passo 1

Fala gente tudo bem? Nesse exercício ele quer que apliquemos um método de comparação para descobrir se a série diverge ou converge, então bora.

Vamos fazer o teste da comparação limite com a série 1 / n 2 :

n n n 2   1 / n 2   = l i m n → ∞ n n n 2

Vamos aplicar a propriedade dos expoentes para tirar esse expoente:

l i m n → ∞ e l n l n   n n   = l i m n → ∞ e 1 n l n l n   n  

Agora temos que aplicar a regra da cadeia pois temos uma função composta, u = 1 n l n l n   n  

l i m n → ∞ 1 n l n l n   n   = 0

l i m u → 0   e u = 1

l i m n → ∞ e 1 n l n l n   n   = 1 1 = 1

Portanto, a série é convergente, pois 1 / n 2 é uma série convergente.

Bora que bora.

Resposta

Convergente

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