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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 10.Exercícios adicionais e avançados - Ex. 6

Quais das séries ∑ n = 1 ∞ a n definidas pelas fórmulas nos Exercícios 5-8 convergem? E quais divergem? Justifique suas respostas.

6. a 1 = a 2 = 7 ,     a n + 1 = n ( n - 1 ) ( n + 1 ) a n ,   s e   n ≥ 2

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Dado que

a 1 = a 2 = 7 ,   ,     a n + 1 = n n - 1 n + 1 a n ,   s e   n ≥ 2

Portanto, nós temos que

a n + 1 a n = n n - 1 n + 1

Para esse caso, vamos usar o teste da razão

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = ρ

Temos duas possibilidades:

a )   S e   ρ < 1 ,   e n t ã o   ∑ a n   c o n v e r g e

b )   S e   ρ > 1 ,   e n t ã o   ∑ a n   d i v e r g e

Passo 2

Aplicando o teste da razão para a série dada, obtemos

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = lim n → ∞ ⁡ n n - 1 n + 1

Desenvolvendo os termos, nós temos que

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = lim n → ∞ ⁡ n n 2 - 1 = 0 < 1 ,     p a r a   t o d o   x ∈ R

Logo, a série converge!

Resposta

A série dada converge pelo teste da razão!

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