Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 10.Exercícios adicionais e avançados - Ex. 31

Controle de qualidade –

a. Derive a série

1 1 - x = 1 + x + x 2 + … + x n + …

Para obter uma série para 1 1 - x 2 .

b. Jogando-se dois dados de uma vez, a probabilidade de se obter 7 é p = 1 / 6 . Se você jogar os dados repetidamente, a probabilidade de que um 7 apareça na primeira vez na n-ésima jogada é q n - 1 p , onde q = 1 - p = 5 / 6 . O número esperado de jogadas até que um 7 apareça pela primeira vez é ∑ n = 1 ∞ n q n - 1 p . Encontre a soma dessa série.

c. Como um engenheiro aplicando controle estatístico a uma operação industrial, você inspeciona itens tomados aleatoriamente a partir da linha de montagem. Você classifica cada item da amostra como “bom” ou “ruim”. Se a probabilidade de um item ser bom é p e de um item ser ruim é q = 1 - p , a probabilidade de que o primeiro item ruim seja o n-ésimo inspecionado é p n - 1 q . O número médio de itens inspecionados incluindo o primeiro item ruim encontrado é ∑ n = 1 ∞ n q n - 1 p . Avalie essa soma, assumindo que 0 < p < 1 .

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

A – Dado que a série é igual a

1 1 - x = 1 + x + x 2 + … + x n + … ,     p a r a   x < 1

Diferenciando os dois lados com respeito a x , nós temos que

d d x 1 1 - x = d d x 1 + x + x 2 + … + x n + …

Com isso, nós temos que

1 1 - x 2 = 1 + 2 x + 3 x 2 + 4 x 3 + …

Colocando o lado direito como um somatório, nós obtemos que

1 1 - x 2 = ∑ n = 1 ∞ n x n - 1 ,     p a r a   x < 1

Passo 2

B – Nesse caso, a série foi dada por

∑ n = 1 ∞ n q n - 1 p

Dado que p = 1 / 6 e q = 5 / 6 . Colocando o valor de p e q na série dada, nós temos que

∑ n = 1 ∞ n 5 6 n - 1 1 6 = 1 6 ∑ n = 1 ∞ n 5 6 n - 1

Da letra (a), nós sabemos que

1 1 - x 2 = ∑ n = 1 ∞ n x n - 1 ,     p a r a   x < 1

Claramente, no intervalo de - 1 < 5 6 < 1 , portanto,

1 6 ∑ n = 1 ∞ n 5 6 n - 1 = 1 6 1 1 - 5 6 2 = 6

Passo 3

C – Para essa questão, nós temos que encontrar a soma ∑ n = 1 ∞ n q n - 1 p onde se satisfaça 0 < p < 1 . Nós podemos fazer o seguinte

  ∑ n = 1 ∞ n p n - 1 q = q   ∑ n = 1 ∞ n p n - 1

Da letra (a), podemos pegar a seguinte informação

1 1 - x 2 = ∑ n = 1 ∞ n x n - 1 ,     p a r a   x < 1

Como o intervalo é 0 < p < 1 , portanto, nós temos que

q ∑ n = 1 ∞ n p n - 1 = q 1 1 - p 2 = q p 2 = 1 q

Logo, obtemos que

∑ n = 1 ∞ n p n - 1 q = 1 p

Resposta

a )   1 1 - x 2 = ∑ n = 1 ∞ n x n - 1 ,     p a r a   x < 1

b )   6

c ) 1 q

Exercícios de Livros Relacionados

Utilize operações de séries de potências para encontrar a série de Taylor em x = 0 para as funções nos Exercícios 11-28. x cos ⁡ π x
Utilize operações de séries de potências para encontrar a série de Taylor em x = 0 para as funções nos Exercícios 11-28. xt g - 1 x 2
Utilize operações de séries de potências para encontrar a série de Taylor em x = 0 para as funções nos Exercícios 11-28. x 2 1 - 2 x
Utilize operações de séries de potências para encontrar a série de Taylor em x = 0 para as funções nos Exercícios 11-28. sen 2 ⁡ x
Como é possível utilizar eventualmente séries de potências para estimar os valores de integrais definidas não elementares?