Enunciado
Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 1.6 - Ex. 61c
Simplifique:
Passo 1
Então, galerinha, esse aí dá medo, né? Mais feio que o bicho papão! Mas vou te ensinar a enfrentar esse monstro de uma vez por todas! O problema quer que você deixe isso com uma cara mais fofinha e aceitável. Pra isso, basta fazermos o seguinte:
Passo 2) usar propriedades de logaritmo
Passo 3) pegar uma forma mais simples e achar a resposta
Passo 2
É o seguinte: vamos usar essa propriedade de logaritmo aqui:
Ela, basicamente, desce o expoente do que tá dentro do log, beleza? Então, na nossa expressão (essa daqui ) a gente vai descer o expoente que tá dentro do log e fica assim:
“Ué, por que você não desceu o também??”
Calma, calma, é uma estratégia. Eu quero fazer aquele log ali virar algo que eu saiba de cara o que é, sem usar a calculadora. Mas, se eu tivesse descido o , eu não saberia calcular apenas Eu sei que parece mais bonito do que o , mas te garanto que desse jeito é melhor. Agora, vamos brincar com o que tá dentro do logaritmo (que é )pra melhorar um cadinho:
Antes de mais nada, vamos lembrar a definição básica de logaritmo:
Isso vale pra qualquer . Vamos colocar. Porque eu peguei esse valor? Porque, se eu jogarem , chega em , que é o tá dentro do nosso logaritmo lá de cima. Ou seja, eu peguei o que é mais conveniente pra gente resolver essa questão.
Jogandoem , a gente chega em e agora vem a mágica da questão. Olha só, pra um lado ser igual ao outro, o tem que ser igual a , consegue ver? Isso é porque o logaritmo é uma função injetora, que quer dizer que se tem dois logs (de mesma base) iguais, quer dizer que os logaritmandos (o outro número que não é a base) tem que ser iguais! E aí vai um bizú: isso que a gente fez é uma propriedade de log, ou seja, vale pra outros casos!
Dessa forma, chegamos em: , mas , então .
Passo 3
Voltando lá pra expressão original…
Vamos lembrar que pra qualquer
Então,