Determine uma fórmula para a função inversa e verifique se .

Bora lá! Como eu disse no PASSO 1, pra achar a inversa de uma função, basta trocar o com o e isolar o Mas onde que tá nosso Tá ali, no Então, , ok? Vamos trocar:

. Agora, vamos isolar o Passando o pro outro lado como divisão e o pro outro, como multiplicação, e passando o 1 como subtração, chegamos em:

.

Agora, vamos tirar o mínimo do lado direito, ficando assim:

Agora nós vamos precisar lembrar de uma propriedade. Você lembra

Vou fazer a mesma coisa com aquele . Olha só:

Passando o pra um lado, o e o pro outro, nós temos

E agora, pra tirar esse do expoente, que é a nossa incógnita, nós temos que usar o nosso queridíssimo logaritmo. Qual é a base? Vamos usar a base pra fazer aquele sumir, ok? Mas temos que usar o dos 2 lados, senão não vai dar certo:

Tem uma propriedade do logaritmo que diz que, se você tem um expoente dentro do , você pode descer ele como multiplicação. Assim, ó:

Mas temos que lembrar que: , para todo e Dessa forma:

E essa é a nossa função inversa, sacou?

Vamos passar, então, para o passo 3.

Agora que temos a inversa, vamos ver se .

e .

, certo? Onde tem em a gente colocou .

Agora, preciso te lembrar de uma propriedade de logaritmo:

. Tá vendo aquele ?

A base do é e a base da potência também, então eu vou usar aquela propriedade. Mas tem uma coisa que atrapalha, que é aquele sinal de menos. Eu vou usar “a volta” da propriedade que desce o expoente e vou subir ele.

e agora vou poder usar aquela propriedade.

. Repete a primeira e multiplica pelo inverso da segunda…

. Pronto, a primeira já foi!

Agora só falta ver se , ,

, porque onde tem em a gente coloca .

Pela propriedade de divisão no logaritmo:

Cancelando os :

Pela propriedade que desce o expoente:

, que é o que a gente queria.