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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 1.2 - Ex. 6i

Simplifique.

((1)/(x^2) - (1)/(p^2))/(x - p)

Passo 1

Vamos lá, para simplificar essa expressão vamos tentar manipular um pouco ela. Vamos começar resolvendo a subtração no numerador:

((1)/(x^2) - (1)/(p^2))/(x - p) = ((p^2 - x^2)/(p^2 x^2))/(x - p)

Mas ainda não ta legal, essa fração no numerador. Vamos melhorar!

Passo 2

Vamos agora deixar em uma parcela só, com uma expressão só no numerador e outra no denominador, fazemos isso repetindo o numerador e multiplicando pelo inverso do denominador:

((1)/(x^2) - (1)/(p^2))/(x - p) = ((p^2 - x^2)/(p^2 x^2))/(x - p) = (p^2 - x^2)/(p^2 x^2) * (1)/((x - p)) = (p^2 - x^2)/(p^2 x^2 (x - p))

Repara que no numerador temos um subtração de quadrados, vamos tentar transformar em um produto de polinominios para tentar simplificar!

Passo 3

Agora vamos usar produto notável no numerador, dá pra ver que ele é da forma:

a^2 - b^2 = (a + b) (a - b)

Vamos lá então:

p^2 - x^2 = (p + x) (p - x)

Substituindo ficamos com:

(p^2 - x^2)/(p^2 x^2 (x - p)) = ((p + x) (p - x))/(p^2 x^2 (x - p))

Opa! Repara que o termo entre parenteses do numerador é parecido com o termo entre parenteses do denominador. Vamos tentar cortar?!

Passo 4

Pronto, está quase lá, podemos reparar que quase temos uma parcela no numerador (p - x) igual ao do denominador (x - p) , apenas está com sinal invertido, vamos então multiplicar e dividir a expressão por - 1 .

((p + x) (p - x))/(p^2 x^2 (x - p)) = ((p + x) (p - x))/(p^2 x^2 (x - p)) * ((- 1))/((- 1))

Vamos deixar o numerador em função de - 1 , mas vamos multiplicar no denominador (repara que os sinais dentro do parenteses vão inverter):

((p + x) (p - x))/(p^2 x^2 (x - p)) = ((p + x) (p - x) (- 1))/(p^2 x^2 (p - x)) = - (p + x)/(p^2 x^2)

Pronto, está simplificado!

Resposta

((1)/(x^2) - (1)/(p^2))/(x - p) = - (p + x)/(p^2 x^2)

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