(a) Se seu sistema de computação algébrica traça o gráfico de curvas definidas implicitamente, use-o para estimar os valores mínimo e máximo de f(x, y) = x^3 + y^3 + 3xy sujeita a (x - 3)^2 + (y - 3)^2 = 9 por métodos gráficos.

(b) Resolva o problema da parte (a) com o auxílio dos multiplicadores de Lagrange. Use um SCA para resolver as equações numericamente. Compare sua resposta com a da parte (a).

Passo 1

Oie, tudo bem? Vou te ajudar a resolver essa atividade. A gente vai precisar utilizar o um software aqui.

Inicialmente iremos traçar o gráfico da função:

f x ,   y = x 3 + y 3 + 3 x y

E em conjunto iremos traçar o gráfico da sua restrição:

x - 3 2 + y - 3 2 = 9

A partir disso iremos observar os máximos e mínimos da função. Aqui iremos utilizar o GeoGebra, ele é gratuito e fácil de utilizar, além de ser online.

Já para a letra b), para usar os multiplicadores de Lagrange, a gente utiliza a igualdade:

∇ f = λ ∇ g

Em que ∇ f é o gradiente e é dado por:

∇ f = f x , f y

Para derivar parcialmente devemos derivar em relação a uma variável e considerar todas as outras com constantes.

Com isso em mãos, a gente encontra os valores de x e y resolvendo os sistemas com a equação da restrição. Iremos então encontrar um ponto crítico que deve ser testado na função f .

Passo 2

(a) Usando um SCA, vamos traçar as curvas, iremos plotar c = x 3 + y 3 + 3 x y para diferentes valores de c .

Os gráficos de f x ,   y = 3,5 e f x ,   y = 350 parecem ser tangentes à circunferência. Então, 3,5 seria o mínimo, e 350 seria o máximo, fazendo uma estimativa.

Passo 3

(b) Para usar multiplicadores de Lagrange, devemos ter:

∇ f = λ ∇ g

Sendo que:

f x , y = x 3 + y 3 + 3 x y

E

g x , y = x - 3 2 + y - 3 2 = 9

Vamos derivar parcialmente para encontrarmos os gradientes:

f x = 3 x 2 + 3 y 2 + 3 y

E para f y :

f y = 3 y 2 + 3 x

Temos então a nossa igualdade:

∇ f = λ ∇ g

3 x 2 + 3 y ,       3 y 2 + 3 x = λ 2 ( x - 3 ) ,       2 ( y - 3 )

Então ficamos com três equações:

3 x 2 + 3 y = λ 2 x - 6                     3 y 2 + 3 x = λ ( 2 y - 6 )                     x - 3 2 + y - 3 2 = 9

Passo 4

Vamos gerar um código python para resolver essas equações:

Vamos ter então:

x = y = 3 - 3 2 2   ;   x = y = 3 + 3 2 2

Substituindo na função, encontramos os valores de máximos e mínimos:

f 3 - 3 2 2   ,       3 - 3 2 2 = 351 2 - 243 2 2 ≈ 3,673

f 3 + 3 2 2   ,       3 + 3 2 2 = 351 2 + 243 2 2 ≈ 347,33

Ou seja, o mínimo e o máximo calculados estão de acordo com os estimados no item (a).

Resposta

(a) 3,7 e 350

(b) 3,673 e 347,33  

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