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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 14.8 - Ex. 28

Referindo-se ao Exercício 27, suponhamos agora que a produção é fixa em b L α K 1 - α = Q , onde Q é uma constante. Quais valores de L e K minimizam a função de custo C L , K = m L + n K ?

Passo 1

Eaeee, belezinha?? Bom... o enunciado faz menção ao exercício 27 . Vamos relembrar um pouquinho??

Basicamente o exercício 27 nos deu essa função da produção P :

P L , K = b L α K 1 - α

Atenção: Observe que α e b são constantes!!!

Esse exercício queria que provássemos que essa função tem os seguintes valores de máximo quando:

L = α p m

E

K = 1 - α p n

Para isso, tínhamos a nossa restrição:

g L , K = m L + n K - p

Atenção: Observe que m , n e p são constantes!!!

Mas nesse exercício 28 o enunciado nos disse que a produção agora é fixa em uma constante Q (que é a nossa nova restrição g ):

g L , K = b L α K 1 - α = Q

Agora queremos calcular valores de L e K que minimizam a função de custo:

C L , K = m L + n K

Enfim... para podermos calcular esses valores, teremos que utilizar o Método dos Multiplicadores de Lagrange!!

Mas que método é esse???

Então... para determinar os valores máximo e mínimo de f x , y sujeitos à restrição g x , y = k (supondo que esses valores extremos existam e que ∇ g ≠ 0 sobre a superfície g x , y = k ), então:

∇ f x , y = λ ⋅ ∇ g x , y

Esse λ é o nosso multiplicador de Lagrange!!!

Se ainda ficou confuso, é o seguinte: Primeiro vamos calcular os gradientes de f (ou seja, ∇ f ) e depois os de g (ou seja, ∇ g ).

Em seguida, iremos calcular o valor de λ utilizando a equação que você acabou de ver. Com isso, aplicando na nossa restrição g encontraremos os valores que desejamos!!

Ah... só para não se confundir, estamos adotando:

f x , y = C L , K

E

g x , y = g L , K

Agora bora lá aplicar!! 😉

Passo 2

Vamos então tirar os gradientes das nossas funções!

Primeiro vamos para a função C :

C L , K = m L + n K

Para calcular o gradiente ∇ P , basta aplicarmos as derivadas parciais!!

Derivando em relação a L , aplicando a Regra da Potência, temos:

C L = ∂ ∂ L   m L + n K ∴

C L = m

De forma análoga, derivando em relação a K :

C K = ∂ ∂ K   m L + n K ∴

C K = n

Assim, nosso gradiente é:

∇ C = m ,   n

Passo 3

Agora vamos para a função g :

g L , K = b L α K 1 - α

Derivando com relação a L , colocando as constantes para fora e aplicando a Regra da Potência, obtemos:

g L = ∂ ∂ L   b L α K 1 - α ∴

g L = b K 1 - α ∂ ∂ L   L α ∴

g L = α b L α - 1 K 1 - α

Derivando em relação a K de forma análoga:

g K = ∂ ∂ K   b L α K 1 - α ∴

g K = ∂ ∂ K   b L α ∂ ∂ K   K 1 - α ∴

g K = 1 - α b L α K - α

Assim, nosso gradiente é:

∇ g = α b L α - 1 K 1 - α , 1 - α b L α K - α

Passo 4

Beleza, temos nossos gradientes, agora vamos encontrar um λ que satisfaça a equação.

Para isso, basta aplicarmos os gradientes que encontramos no passo anterior na equação que apresentamos no Passo 1:

∇ C L , K = λ ⋅ ∇ g L , K ∴

m ,   n = λ ⋅ α b L α - 1 K 1 - α , 1 - α b L α K - α

Daí, vamos tirar que:

m = λ ⋅ α b L α - 1 K 1 - α n = λ ⋅ 1 - α b L α K - α

Reorganizando as expressões, obtemos:

m = λ ⋅ α b K L 1 - α n = λ ⋅ 1 - α b L K α

Vamos analisar isso mais a fundo?? 😉

Passo 5

Isolando λ em cada uma das expressões e igualando, temos:

λ = λ ∴

m α b K L 1 - α = n 1 - α b L K α

Reorganizando a expressão:

n α m 1 - α = L K α L K 1 - α ∴

n α m 1 - α = L K

Isolando L , teremos:

L = K n α m 1 - α

Passo 6

Aplicando esse valor de L na nossa restrição, teremos:

b L α K 1 - α = Q ∴

b K n α m 1 - α α K 1 - α = Q

Isolando K , teremos:

K = Q b m 1 - α n α α

Substituindo esse valor de K na mesma equação da restrição:

b L α K 1 - α = Q ∴

b L α Q b m 1 - α n α α 1 - α = Q

Isolando L , vamos ter:

L = Q b m 1 - α n α α - 1

Que são os valores de L e K que maximizam o custo C !!! 😉

Resposta

K = Q b m 1 - α n α α

L = Q b m 1 - α n α α - 1

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Ache os valores de máximo e mínimo da f sujeita àsrestrições dadas. Utilize um sistema computacional algébrico para resolver o sistema de equações proveniente do uso dos multiplicadores de Lagrange. (