Enunciado

Considere o problema de minimizar a função f x ,   y = x na curva y 2 + x 4 - x 3 = 0 (uma piriforme).

(a) Tente utilizar multiplicadores de Lagrange para resolver este problema.

(b) Mostre que o valor mínimo é f 0 ,   0 = 0 , mas que a condição ∇ f 0 ,   0 = λ ∇ g 0 ,   0 não é satisfeita para nenhum valor de λ .

(c) Explique por que os multiplicadores de Lagrange falham em encontrar o mínimo neste caso.

Passo 1

Oie, vamos para mais uma resolução. Aqui a gente precisa responder diversas perguntas sobre a maximização da função:

f x ,   y = x

Com a restrição:

y 2 + x 4 - x 3 = 0

Para usar os multiplicadores de Lagrange, a gente utiliza a igualdade:

∇ f = λ ∇ g

Em que ∇ f é o gradiente e é dado por:

∇ f = f x , f y

Para derivar parcialmente devemos derivar em relação a uma variável e considerar todas as outras com constantes.

Com isso em mãos, a gente encontra os valores de x e y resolvendo os sistema com a equação da restrição. Iremos então encontrar um ponto critico que deve ser testado na função f .

Passo 2

  1. Para usar multiplicadores de Lagrange, devemos ter:

∇ f = λ ∇ g

Lembrando que f x ,   y = x e g x ,   y = y 2 + x 4 - x 3 , vamos calcular as derivadas parciais:

f x = 1

E

f y = 0

Agora para g :

g x = 4 x 3 - 3 x 2

E

g y = 2 y

Nosso gradiente é então:

1 ,   0 = �� 4 x 3 - 3 x 2 ,       2 y

Então ficamos com três equações:

λ 4 x 3 - 3 x 2 = 1                     2 y λ = 0                     y 2 + x 4 - x 3 = 0

Veja que precisamos satisfazer todas as três equações.

Passo 3

Olhando pra primeira equação, vemos que λ ≠ 0 , o que nos leva a concluir na segunda:

y = 0

Agora, podemos substituir esse valor de y na terceira equação:

0 2 + x 4 - x 3 = 0

x 3 x - 1 = 0

x = 0     ;   x = 1

Mas se x = 0 , isso nos levaria a uma contradição na primeira equação, então x = 1

Portanto o mínimo é:

f 1 ,   0 = 1

Passo 4

  1. Vamos analisar a curva de restrição:

  y 2 + x 4 - x 3 = 0

Passando o y 2 para o outro lado da igualdade:

x 3 - x 4 = y 2 ≥ 0

x 3 - x 4 ≥ y 2

x 3 1 - x ≥ y

Podemos verificar que essa desigualdade só se satisfaz quando 0 ≤ x ≤ 1 , pois faz parte do domínio da função.

E como f x ,   y = x , basta pegar o menor valor possível de x para obtermos o mínimo. Então, de fato, f 0 ,   0 = 0 é o mínimo.

Porém, não existe nenhum valor de λ que consiga satisfazer a seguinte equação, se x = 0 :

λ 4 x 3 - 3 x 2 = 1

Passo 5

c) No ponto de mínimo, teríamos ∇ g 0 ,   0 = 0 , mas o método dos multiplicadores de Lagrange requer ∇ g 0 ,   0 ≠ 0 em qualquer ponto da curva de restrição.

Resposta

(a) f 1 ,   0 = 1

(c) ∇ g 0 ,   0 = 0

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