Enunciado
Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 3.8 - Ex. 21
Em cada um desses problemas:
Faça os gráficos da função externa e da solução em função de usando o mesmo conjunto de eixos. Use um intervalo de tempo suficientemente longo para que a solução transiente seja substancialmente reduzida. Observe a relação entre a amplitude e a fase da força externa e a amplitude e a fase da solução. Note que .
Passo 1
Devemos encontrar
Convertendo a equação característica em:
Resolvendo a equação quadrática:
A solução homogênea pode ser dada pela equação que diz que:
Aqui, consideramos que é a parte real e a parte homogênea.
Se e , então a solução homogênea será:
Passo 2
Encontraremos a solução particular usando o método de coeficiente indeterminado, vamos chamar . Usaremos para encontrar os respectivos a tabela de termos do capítulo 3.5 que fala sobre o método dos coeficientes indeterminados.
Derivando:
Se a equação é:
Substitua na equação original:
Teremos:
Por comparação:
Resolvendo essas equações simultaneamente:
Substituindo, teremos:
A solução geral pode ser dada por:
Substituindo, teremos:
Passo 3
Aplicando as condições iniciais de contorno, se:
Derivando, teremos:
Se a primeira condição é :
Agora, a outra condição diz que :
Então, a nossa solução geral será: