Enunciado

Em cada um desses problemas:

s ' ' + 0,125 s ' + 4 s = F t ; s 0 = 2 ; s ' 0 = 0 .

Faça os gráficos da função externa F ( t ) e da solução u ( t )   em função de   t usando o mesmo conjunto de eixos. Use um intervalo de tempo suficientemente longo para que a solução transiente seja substancialmente reduzida. Observe a relação entre a amplitude e a fase da força externa e a amplitude e a fase da solução. Note que α 0 = k / m = 2 .

F t = 3   c o s ( t / 4 )

Passo 1

Devemos encontrar u ( t ) , F t = 3 c o s t 4 .

Convertendo a equação característica em:

m 2 + 0,125 m + 4 = 0

Resolvendo a equação quadrática:

m = - 1 16 ± 1023 16 i

A solução homogênea pode ser dada pela equação que diz que:

y h = c 1 e t a cos ⁡ b t + c 2 e t a sen ⁡ b t

Aqui, consideramos que a é a parte real e b a parte homogênea.

Se a = - 1 16 e b = 1023 16 , então a solução homogênea será:

u c = c 1 e - t / 16 cos ⁡ 1023 16 t + c 2 e - t / 16 sen ⁡ 1023 16 t

Passo 2

Encontraremos a solução particular usando o método de coeficiente indeterminado, vamos chamar U t = s ; U ' t = s ' e   U ' ' t = s ' ' . Usaremos para encontrar os respectivos U a tabela de termos do capítulo 3.5 que fala sobre o método dos coeficientes indeterminados.

U t = A cos ⁡ t 4 + B sen ⁡ t 4

Derivando:

U ' t = - A 4 sen ⁡ t 4 + B 4 cos ⁡ t 4

U ' ' t = - A 16 cos ⁡ t 4 - B sen ⁡ t 4

Se a equação é:

s ' ' + 0,125 s ' + 4 s = 3   c o s t 4

Substitua na equação original:

- A 16 cos ⁡ t 4 - B sen ⁡ t 4 + 0,125   - A 4 sen ⁡ t 4 + B 4 cos ⁡ t 4 + 4 A cos ⁡ t 4 + B sen ⁡ t 4 = 3   c o s t 4

Teremos:

- A 16 + B 32 + 4 A cos ⁡ t 4 + - B 16 - A 32 + 4 B sen ⁡ t 4 = 3 cos ⁡ t 4

Por comparação:

- A 16 + B 32 + 4 A = 3 ;     - B 16 - A 32 + 4 B = 0

Resolvendo essas equações simultaneamente:

A   = 12096 15877 ;         B   = 96 15877

Substituindo, teremos:

U t = 12096 15877 cos ⁡ t 4 + 96 15877 sen ⁡ t 4

A solução geral pode ser dada por:

u t = u c + U ( t )

Substituindo, teremos:

u t = c 1 e - t / 16 cos ⁡ 1023 16 t + c 2 e - t / 16 sen ⁡ 1023 16 t + 12096 15877 cos ⁡ t 4 + 96 15877 sen ⁡ t 4

Passo 3

Aplicando as condições iniciais de contorno, se:

u t = c 1 e - t / 16 cos ⁡ 1023 16 t + c 2 e - t / 16 sen ⁡ 1023 16 t + 12096 15877 cos ⁡ t 4 + 96 15877 sen ⁡ t 4

Derivando, teremos:

u ' t = - 1 16 e - t 16 c 1 cos ⁡ 1023 16 t + c 2 sen ⁡ 1023 16 t + e - t 16 - c 1 1023 16 sen ⁡ 1023 16 t + c 2 1023 16 cos ⁡ 1023 16 t - 12096 63508 sen ⁡ t 4 + 96 63508 cos ⁡ t 4

Se a primeira condição é u 0 = 2 :

u 0 = c 1 e 0 / 16 cos ⁡ 1023 16 0 + c 2 e 0 / 16 sen ⁡ 1023 16 0 + 12096 15877 cos ⁡ 0 4 + 96 15877 sen ⁡ 0 4 = 2

c 1 + 12096 15877 = 2

c 1 = 1,23814

Agora, a outra condição diz que u ' 0 = 0 :

u ' 0 = - 1 16 e 0 c 1 cos ⁡ 1023 16 0 + c 2 sen ⁡ 1023 16 0 + e 0 - c 1 1023 16 sen ⁡ 1023 16 0 + c 2 1023 16 cos ⁡ 1023 16 0 - 12096 63508 sen ⁡ 0 4 + 96 63508 cos ⁡ 0 4 = 0

- 1 16 c 1 + 1023 16 c 2 + 96 63508 = 0

c 2 = 0,03795

Então, a nossa solução geral será:

u t = 1,23814 e ( - t 16 ) cos ⁡ 1023 16 t + 0,03795 e ( - t 16 ) sen ⁡ 1023 16 t + 12096 15877 cos ⁡ t 4 + 96 15877 sen ⁡ t 4

Resposta

u t = 1,23814 e ( - t 16 ) cos ⁡ 1023 16 t + 0,03795 e ( - t 16 ) sen ⁡ 1023 16 t + 12096 15877 cos ⁡ t 4 + 96 15877 sen ⁡ t 4

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