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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 12.7 - Ex. 65

Um sólido é constituído do conjunto de pontos que está acima do cone z = x 2 + y 2 e abaixo da esfera x 2 + y 2 + z 2 = z . Descreva o sólido utilizando inequações envolvendo coordenadas esféricas.

Passo 1

Para escrevermos as inequações envolvendo coordenadas esféricas precisamos passa a equação do cone e a equação da esfera de coordenadas retangulares para coordenadas esféricas.

Para isso temo que:

ρ = x 2 + y 2 + z 2

Passo 2

Então a equação do cone fica:

z = x 2 + y 2   → z 2 = x 2 + y 2 → 2 z 2 = x 2 + y 2 + z 2 → z = ρ 2 = ρ 2 2

Mas 2 2 é igual ao cos ⁡ π / 4 . Então temos que o ângulo do eixo z ( φ ) está variando de 0 a π 4 .

z = ρ cos ⁡ φ

Já a equação da esfera fica:

z = x 2 + y 2 + z 2   → z = ρ ²

Igualando as duas equações temos:

ρ 2 = ρ cos ⁡ φ → ρ = cos ⁡ φ

Passo 3

Portanto as inequações em coordenadas esféricas são:

0 ≤ ρ ≤ cos ⁡ φ

0 ≤ φ ≤ π 4

Resposta

0 ≤ ρ ≤ cos ⁡ φ

0 ≤ φ ≤ π 4

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