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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 3.11 - Ex. 25

Dê uma solução alternativa para o Exemplo 3 tomando y = s e n h - 1   x e então usando o Exercício 9 e o Exemplo 1(a), com x substituído por y.

Passo 1

E aeee, belezinha? Bom... a questão nos pede para dar uma solução alternativa para o Exemplo 3 tomando y = s e n h - 1   x e então usando o Exercício 9 e o Exemplo 1(a), com x substituído por y .

Muito bem, antes de começar vamos relembrar o Exemplo 3:

“Mostre que s e n h - 1 x = ln ⁡ ( x + x ² + 1 ) .   ”

Usando para isso:

E x e m p l o   1   a →     c o s h ²   x - s e n h 2 x = 1

E x e r c í c i o s →     c o s h   x + s e n h   x = e x

Substituindo x por y:

c o s h ²   y - s e n h 2 y = 1

c o s h   y + s e n h   y = e y

Se isolarmos o cosseno da primeira relação:

c o s h ²   y = 1 + s e n h 2 y

Tiramos a raiz:

c o s h   y = 1 + s e n h 2 y

Passo 2

Usando as propriedades do inverso do seno podemos chamar:

y = s e n h - 1 x

Sendo assim:

s e n h   y = x

Substituindo na equação do passo 1:

c o s h   y = 1 + x ²

Agora só precisamos substituir estes dados na relação do Exercício 9:

1 + x ² + x = e y

Para retirar o y elevado ao expoente aplicamos ln dos dois lados:

ln ⁡ e y = ln ⁡ ( 1 + x ² + x )

y = ln ⁡ ( 1 + x ² + x )

Reorganizando:

s e n h - 1 x = ln ⁡ ( 1 + x ² + x )

Certinho?!

Resposta

s e n h - 1 x = ln ⁡ ( 1 + x ² + x )

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