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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 10.11 - Ex. 41 - a

Uma superfície S é representada pela equação vetorial r →   u , v   = 4 cos ⁡ u ,       4 s e n   u   ,       4 v

0 ≤ u ≤ 2 π

0 ≤ v ≤ 2

  1. Determinar a equação cartesiana de S
  2. Desenhar sobre a superfície S as curvas coordenadas obtidas fixando u = π 3 e v   =   1 , respectivamente
  3. Determinar o vetor ∂ r → ∂ u   x ∂ r → ∂ v   no ponto em que u = π 3 e v = 1 , representando -o no correspondente ponto P de S
  4. Supondo que uma lamina de densidade constante é representada por r →   u , v ,   determine o momento de inercia da lamina em relação ao eixo z

Passo 1

  1. Determinar a equação cartesiana de S

r →   u , v   = 4 cos ⁡ u ,       4 s e n   u   ,       4 v

0 ≤ u ≤ 2 π

0 ≤ v ≤ 2

Da pra perceber que é uma superfície cilíndrica ? Afinal temos que em x e y nossa parametrização fica fazendo círculos, e nossa variável z apenas sobre e desce

Logo voltando para uma cartesiana temos

x 2 + y 2 = 16  

0 < z < 8

Terminamos por aqui. Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

x 2 + y 2 = 16  

0 < z < 8

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Calcule a integral de superfície. ∬ x y z d S , S é o cone com equações paramétricas x = u c o s v , y = u s e n v , z = v , 0 ≤ u ≤ 1,0 ≤ v ≤ π 2 .
Calcule a integral de superfície. ∬ x z d S , S é a parte do plano 2 x + 2 y + z = 4 que está no primeiro octante.
Calcule a integral de superfície. ∬ y d S , S é o helicoide com equação vetorial r u , v =u c o s v , u s e n v , v, 0 ≤ u ≤ 1 , o ≤ v ≤ π
Calcule a integral de superfície. ∬ x 2 y z d S , S é a parte do plano z = 1 + 2 x + 3 y Que está acima do retângulo 0,3 × 0,2 .
Calcule a integral de superfície. ∬ x + y + z d S , S é o paralelogramo com equações paramétricas x = u + v , y = u - v , z = 1 + 2 u , 0 ≤ u ≤ 2,0 ≤ v ≤ 1 .