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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 5.Revisão - Ex. 27

Suponha que

∫ 0 1 f x d x = 1 2     ,   ∫ 1 2 f x d x = 1 4   ,

∫ 0 3 f x d x = - 1     ,   ∫ 0 1 g x d x = 2

Em cada parte, use essa informação para calcular a integral dada, se possível. Se não houver informações suficiente para calcular a integral, aponte isso.

a ∫ 0 2 f x d x       b ∫ 1 3 f x d x   ( c ) ∫ 2 3 5 f x d x

d ∫ 1 0 g x d x       e ∫ 0 1 g 2 x d x   ( f ) ∫ 0 1 g x 2 d x

Passo 1

  1. ∫ 0 2 f x d x

    2. Podemos reescrever a integral como:

    ∫ 0 2 f x d x = ∫ 0 1 f x d x + ∫ 1 2 f x d x

    Sabemos que:

    ∫ 0 1 f x d x = 1 2     ,   ∫ 1 2 f x d x = 1 4

    Dessa forma:

    ∫ 0 2 f x d x = 1 2 + 1 4 = 3 4

    Passo 2

  2. ∫ 1 3 f x d x

    3. Podemos reescrever a integral como:

    ∫ 1 3 f x d x = ∫ 0 3 f x d x - ∫ 0 1 f x d x

    Sabemos que:

    ∫ 0 1 f x d x = 1 2     ,   ∫ 0 3 f x d x = - 1

    Dessa forma:

    ∫ 0 2 f x d x = - 1 - 1 2 = - 3 2

    Passo 3

  3. ∫ 2 3 5 f x d x

    4. Podemos reescrever a integral como:

    ∫ 2 3 5 f x d x = ∫ 0 3 5 f x d x - ∫ 0 1 5 f x d x + ∫ 1 2 5 f x d x

    Retirando a constante de dentro das integrais:

    ∫ 2 3 5 f x d x = 5 ∫ 0 3 f x d x - ∫ 0 1 f x d x - ∫ 1 2 f x d x

    Sabendo que ∫ 0 1 f x d x = 1 2     ,   ∫ 1 2 f x d x = 1 4   , ∫ 0 3 f x d x = - 1

    Substituindo, temos:

    ∫ 2 3 5 f x d x = 5 - 1 - 1 2 + 1 4

    ∫ 2 3 5 f x d x = 5 - 7 4 = - 35 4

    Passo 4

  4. ∫ 1 0 g x d x

    5. Podemos reescrever a integral como:

    ∫ 1 0 g x d x = - ∫ 0 1 g x d x = - 2

    Passo 5

  5. ∫ 0 1 g 2 x d x

    6. Fazendo algumas considerações, temos que:

    u = 2 x

    d x = d u 2

    Quando x = 0 :

    u = 2.0 = 0

    Quando x = 1 :

    u = 2.1 = 2

    Podemos alterar o intervalo de integração para:

    ∫ 0 2 g u . d u 2  

    Como estamos interessados apenas no comportamento, vamos fazer:

    ∫ 0 1 g 2 x d x = ∫ 0 2 g u . d u 2  

    Chamaremos vulgarmente de :

    ∫ 0 1 g 2 x d x = ∫ 0 2 g x d x  

    ∫ 0 1 g 2 x d x = ∫ 0 1 g x d x + ∫ 1 2 g x d x

    Entretanto, desconhecemos o valor de ∫ 1 2 g x d x .

    Passo 6

  6. ∫ 0 1 g x 2 d x

Podemos reescrever a integral como:

∫ 0 1 g x 2 d x = 2 g x g ' ( x ) 0 1

Entretanto, desconhecemos o valor de g ' x no intervalo dado.

Resposta

(a) 3 4

(b) - 3 2

(c) - 35 4

(d) - 2

(e) Não é possível calcular

(f) Não é possível calcular

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