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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 5.Revisão - Ex. 59a

Suponha que a bola do exercício 58 seja atirada para baixo com velocidade inicial de 14 m/s.

a)Quanto tempo levará para a bola atingir o solo?

(Dados do exercício 58: A altura inicial da bola em relação ao solo é de 19m.)

Passo 1

Sabendo que a aceleração da gravidade é g e sendo s ( t ) a altura da bola em relação ao solo, temos então que s ' ' t = - g . A bola alcançará o solo quando s t = 0 . Devemos então primeiro integrar a aceleração - g duas vezes para acharmos s ( t ) , e após isso achar o tempo t para o qual s = 0 .

Passo 2

Integrando s ' ' ( t ) , temos:

∫ - g d t = - g t + C

Temos então a expressão de s ' t = - g t + C . Mas esse é o valor da velocidade no tempo t , que é -14 m/s para t = 0 pois a bala sai com essa velocidade para baixo. Então:

s ' 0 = - 14 ⇒ - g ⋅ 0 + C = - 14 ⇒ C = - 14 ⇒ s ' t = - g t - 14

Passo 3

Agora devemos integrar a expressão s ' ( t ) da velocidade para acharmos a altura s t em função do tempo:

s t = ∫ - g t - 14 d t = - g t 2 2 - 14 t + C 2

Mas sabemos que s 0 = 19 , então:

- g ⋅ 0 2 2 - 14 ⋅ 0 + C 2 = 19 ⇒ C 2 = 19 ⇒ s t = - g t 2 2 - 14 t + 19

Passo 4

Agora basta acharmos t para o qual s = 0 .

- g t 2 2 - 14 t + 19 = 0 ⇒ g t 2 + 28 t - 38 = 0

Resolvemos a equação do segundo grau, para t > 0 :

Δ = 28 2 - 4 ⋅ g ⋅ - 38 = 784 + 152 g

t = - 28 + 784 + 152 g 2 g = 196 + 38 g - 14 g

Resposta

t = 196 + 38 g - 14 g  

Se g = 10 m/s²:

t = 196 + 38 g - 14 g = 576 - 14 10 = 1   s

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