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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 9.1 - Ex. 49

Questão: 49

Deduza a seguinte formula, onde r é um número real qualquer.

Passo 1

Entendendo o problema

  1. Para deduzir essa formula procederemos como se quiséssemos calcular uma integral qualquer.

l n x ² 2 + c ,para r = - 1

∫ x r ln ⁡ x   d x →

x r + 1 r + 1 ln ⁡ x -   x r + 1 r + 1 2 + c , para r ≠   - 1

Passo 2

Seja: ∫ x r ln ⁡ x   d x , devemos estudar 2 casos, quando r pertence aos reais –(-1) quando r = - 1 temos r = - 1 .

Usando substituição;

∫ ln ⁡ x   x   d x

U= l n ⁡ x du= 1 x   d x

Substituindo ficamos;

∫ ln ⁡ x   x   d x = ∫ u   d u

= u ² 2 + c

Voltando para x, temos;

∫ ln ⁡ x   x   d x   = l n x ² 2 + c

r pertencentes –(1) , temos;

∫ x r ln ⁡ x   d x =     l n x x r + 1 r + 1 -   ∫ x r + 1 r + 1 .   1 x   d x

= x r + 1 r + 1 . ln ⁡ x -   ∫ x r r + 1   d x

= x r + 1 r + 1 ln ⁡ x -   x r + 1 r + 1 2 + c

Passo 3

Como r = 3 temos que;

∫ x 3 ln ⁡ x   d x =   x 4 16 + c

Resposta

a )   ∫ x 3 ln ⁡ x   d x =   x 4 16 + c para r= -1 e

= x r + 1 r + 1 ln ⁡ x -   x r + 1 r + 1 2 + c para r ≠   - 1

b)   ∫ x 3 ln ⁡ x   d x =   x 4 16 + c

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