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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 7.2 - Ex. 32

Nos exercícios de 29 a 34, faça o seguinte: ( a ) resolva a equação para y em termos de x e expresse y como uma ou mais função de x ; ( b )   para cada função obtida em ( a ) determine se a função tem inversa e se tiver, determine o domínio da função inversa; ( c )   use a derivação implícita para encontrar d y d x e d x d y e determine os valores de x e y para os quais d y d x e d x d y são recíprocos.

32 ) 9 y 2 - 8 x 3 = 0

Passo 1

( a ) Resolvendo a equação para y teremos:

9 y 2 = 8 x 3

y = ± 8 x 3 3

y 1 = 8 x 3 3

y 2 = - 8 x 3 3

Passo 2

( b ) Vamos analisar a função para vermos se há ou não uma inversa. Lembrado que para existir inversa a função precisa ser injetora e sobrejetora ao mesmo tempo, ou seja, bijetora!

Para saber se f é injetora tentaremos provar que para f x 1 =   f ( x 2 ) implica em x 1 = x 2 . Agora vamos aplicar esta ideia:

Supondo que exista x 1 ≠ x 2 tal que y x 1 = y ( x 2 ) , teremos:

8 x 1 3 3 = 8 x 2 3 3

Simplificando e elevando ao quadrado:

8 x 1 3 = 8 x 2 3

x 1 = x 2

Ou seja, y 1 é injetora!

Analogamente y 2 também será injetora!

Note ainda que o domínio das funções y 1 e y 2 é D y 1 = D y 2 = x ≥ 0 , portanto ambas serão sobrejetoras!

Assim, sendo y 1 e y 2 ambas invertíveis vamos assinalar o seus domínios:

I m y 1 = D y 1 - 1 = R e a i s   n ã o   n e g a t i v o s

I m y 2 = D y 2 - 1 = R e a i s   n ã o   p o s i t i v o s

Passo 3

( c ) Agora, derivaremos implicitamente em função de x :

9 y 2 - 8 x 3 = 0

18 y d y d x - 24 x 2 = 0

Isolando d y d x , teremos:

d y d x = 4 x 2 3 y

Agora, derivaremos implicitamente em função de y :

9 y 2 - 8 x 3 = 0

18 y - 24 x 2 d x d y = 0

Isolando d x d y   ,   teremos:

d x d y = 3 x 4 x 2  

Passo 4

Agora vamos analisar os resultados obtidos!

d x d y = 3 x 4 x 2  

Também podemos escrever isso como:

d x d y = 1 4 x 2 3 y

Ou seja,

d x d y = 1 d y d x  

Assim podemos ver que eles serão recíprocos enquanto x ≠ 0 e y ≠ 0 .

Resposta

( a ) y 1 = 8 x 3 3 e y 2 = - 8 x 3 3

b D y 1 - 1 = R e a i s   n ã o   n e g a t i v o s .

            D y 2 - 1 = R e a i s   n ã o   p o s i t i v o s

( c )   d x d y = 3 x 4 x 2 e d y d x = 4 x 2 3 y para x ≠ 0 e y ≠ 0 .

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