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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 4.2 - Ex. 2

Suponha que o fabricante do Exercício 1 faça as latas abertas de pedaços quadrados de flandres com k cm de lado. Determine o comprimento do quadrado a ser cortado, de tal forma que o volume da caixa seja um máximo.

Passo 1

Essas questões têm um jeito bem metódico de resolver, saca só:

  1. Precisamos de uma equação que associe a variável que queremos maximizar e outra variável do problema. Essa é normalmente a parte mais difícil do problema.
  2. Depois que temos essa função, vamos encontrar a derivada dela e procurar os valores onde ela se iguala a 0 e os valores onde ela não existe.
  3. A partir do Teorema do Valor Extremo vamos encontrar os máximos e mínimos comparando os valores da função original nos extremos do intervalo e nos pontos onde a derivada é nula ou inexistente.

Passo 2

A ideia é parecida com a do exercício anterior. Vamos seguir um protocolo parecido para determinar a equação que associa o volume de caixa ao lado do quadrado cortado. Se temos k no lado e tiramos 2 x de cada lado, ficamos com um quadrado de dimensão k - 2 x e erguendo x de altura, ficamos com o volume:

V x = k - 2 x k - 2 x x

V x = k 2 - 4 k x + 4 x 2 x

V x = 4 x 3 - 4 k x 2 + k 2 x

Prontinho! Agora vamos achar sua derivada e igualar ela a 0 . Repare que o nosso domínio é 0 , k 2 , pois caso contrário teríamos dimensões negativas e isso não ia dar bom.

Passo 3

Derivando:

d V d x = 12 x 2 - 8 k x + k 2

Vamos ficar com a equação quadrática pra resolver:

12 x 2 - 8 k x + k 2 = 0

Por Bhaskara:

x 1,2 = 8 k ± 64 k 2 - 48 k 2 24

x 1,2 = 8 k ± 16 k 2 24

Temos as duas raízes:

x 1 = 1 2 k

x 2 = 1 6 k

Ambos estão no nosso domínio, então vamos avaliar o valor da função para essas duas raízes que encontramos e nos extremos do intervalo também.

Passo 4

Para x = 0 → V x = 0

Para x = 1 2 k :

V 1 2 k = 4 1 2 k 3 - 4 k 1 2 k 2 + k 2 1 2 k

V 1 2 k = 1 2 k 3 - k 3 + 1 2 k 3 = 0

Para x = 1 6 k :

V 1 6 k = 4 1 6 k 3 - 4 k 1 6 k 2 + k 2 1 6 k

V 1 6 k = 1 54 k 3 - 1 9 k 3 + 1 6 k 3 = 2 27 k 3

Então temos o valor extremo que nos retorna o máximo volume possível no intervalo denominado x = 1 6 k .

Resposta

x = 1 6 k

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