Ache o número no intervalo 1 3 ,2 , tal que a soma do número com seu recíprco seja um máximo.

Enunciado

Essas questões têm um jeito bem metódico de resolver, saca só:

Precisamos de uma equação que associe a variável que queremos maximizar e outra variável do problema. Essa é normalmente a parte mais difícil do problema.
Depois que temos essa função, vamos encontrar a derivada dela e procurar os valores onde ela se iguala a e os valores onde ela não existe.
A partir do Teorema do Valor Extremo vamos encontrar os máximos e mínimos comparando os valores da função original nos extremos do intervalo e nos pontos onde a derivada é nula ou inexistente.

O recíproco de um número é o ele mesmo elevado a . Então temos que maximizar a equação:

Derivando essa equação ficamos com:

Não precisamos nos preocupar com o ponto , pois ele não está no nosso intervalo. Igualando essa função a

Por conta do nosso intervalo, podemos excluir o valor de

Vamos agora verificar se realmente esse é um máximo ou se o máximo está em um dos limites do intervalo. Vamos fazer e .

Daí vemos que o máximo está em e que é um mínimo!