Enunciado
Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 4.2 - Ex. 35a
Um pedaço de arame com 10 m é cortado em duas partes. Uma delas é curvada na forma circular e a outra, na forma de um quadrado. Como dividir o fio, de tal forma que a área combinada das duas figuras seja a menor possível?
Passo 1
Essas questões têm um jeito bem metódico de resolver, saca só:
- Precisamos de uma equação que associe a variável que queremos maximizar e outra variável do problema. Essa é normalmente a parte mais difícil do problema.
- Depois que temos essa função, vamos encontrar a derivada dela e procurar os valores onde ela se iguala a e os valores onde ela não existe.
- A partir do Teorema do Valor Extremo vamos encontrar os máximos e mínimos comparando os valores da função original nos extremos do intervalo e nos pontos onde a derivada é nula ou inexistente.
Passo 2
Vamos lá: temos 10 m de arame para usar. Ou seja, o perímetro total das duas figuras vai ser:
Onde:
é o lado do quadrado.
é o raio da circunferência.
E a área total (que é a função que queremos minimizar) será:
Passo 3
Temos uma função de duas variáveis, não podemos achar os máximos e mínimos dela dessa forma :( Mas não tem problema, podemos isolar o na equação do perímetro e jogar o valor de em e ficar só com . Isolando na primeira equação:
Agora é só jogar isso na equação da área!
A equação da área vai ficar então:
Agora temos nossa função prontinha pra ser derivada e tudo mais!
Passo 4
Derivando a :
Igualando a :
Vamos aplicar esse ponto na equação da área e comparar com os extremos do intervalo e checar se ele é um máximo ou um mínimo. Repare que como , quando fazemos somente o quadrado, então o intervalo do é .
Passo 5
Fazendo e
Daí vemos que é realmente o valor de que gera a menor área possível. Então o raio da circunferência será m e o lado do quadrado será m
Resposta
O raio da circunferência será m e o lado do quadrado será m.