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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 4.Revisão - Ex. 75

Ache as dimensões do cone circular reto com menor volume que possa circunscrever um cilindro circular reto com r cm de raio e h cm de altura.

Passo 1

Primeiro vamos dar nome aos bois e dizer que o cone tem uma altura H cm e um raio de R cm. Dessa forma podemos dizer que o volume do cone é:

V = 1 3 π R 2 H

Que é uma função que depende de H e de R, devemos então procurar um formato de equação que dependa apenas de uma variável, ou de R ou de H.

Passo 2

Observando um pouco, é fácil perceber que se formam dois triângulos retângulos semelhantes dentro do cone, permitindo escrever que:

H h = R R - r

Logo:

H = h R R - r

Substituindo na fórmula do volume do cone:

V ( R ) = 1 3 π R 2 h R R - r

V R = 1 3 π h R 3 R - r

Uma função que depende apenas de R.

Passo 3

Agora basta derivar e igualar a zero para saber qual o menor valor de R possível para o cone:

V ' R = 1 3 π h 3 R 2 ( R - r ) - R 3 R - r 3 = 0

3 R 2 R - r - R 3 = 0

3 R 3 - 3 R 2 r - R 3 = 0

R 2 2 R - 3 r = 0

Mas R ≠ 0 ∴

2 R - 3 r = 0

R = 3 2 r

Passo 4

Por fim vamos descobrir o valor de H:

H = h R R - r

H = h 3 2 r 3 2 r - r

H = 3 2 h r 1 2 r

H = 3 h

Resposta

R = 3 2 r

H = 3 h

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