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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 10.3 - Ex. 2

Suponha que a função dada é estendida, periodicamente, para fora do intervalo original.

f x = 0 , - π ≤ x < 0 , x , 0 ≤ x < π

(a) Encontre a série de Fourier de função estendida.

(b) Esboce o gráfico da função para a qual a série converge por três períodos.

Passo 1

Vamos começar relembrando o que é a série de Fourier. A série de Fourier é uma função da forma:

f x = a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ a n cos ⁡ n π x L + b n sen ⁡ n π x L

Em que a 0 , a n e b n são constantes definidas para cada valor de n = 1 ,   2 ,   … ,   ∞ e, L corresponde ao intervalo original em que a função periódica é definida ( - L ≤ x < L ) . Usamos a série de Fourier como uma representação de uma função periódica g ( x ) qualquer, em que os valores de g ( x ) podem ser aproximados pela somatória de m termos da série f ( x ) . Agora que já relembramos o conceito da série de Fourier, vamos ao exercício.

Passo 2

O item (a) nos pede para encontrar a série de Fourier para a função periódica:

f x = 0 , - π ≤ x < 0 , x , 0 ≤ x < π

Como acabamos de relembrar, a série de Fourier é uma equação da forma:

f x = a 0 2 + ∑ n = 1 m a n cos ⁡ n π x L + b n sen ⁡ n π x L

Precisamos então obter os termos a 0 ,   a n ,   b n e L . O intervalo de uma função escrita como série de Fourier é definido como - L ≤ x < L . Então, para a nossa função L = π . Tudo bem?

O próximo passo é o cálculo dos coeficientes. O coeficiente a 0 é definido por:

a 0 = 1 L ∫ - L L f x d x

Substituindo a função f ( x ) :

a 0 = 1 π ∫ - π 0 0 d x + ∫ 0 π x d x

a 0 = 1 π ∫ 0 π x d x

a 0 = 1 π x 2 2 0 π

a 0 = 1 π π 2 2 - 0

a 0 = π 2

Agora vamos determinar a n . Ele é dado por:

a n = 1 L ∫ - L L f x cos ⁡ n π x L d x

Aplicando f ( x ) e L ficamos com

a n = 1 π ∫ - π 0 0 cos ⁡ n π x π d x + ∫ 0 π x cos ⁡ n π x π d x

a n = 1 π ∫ 0 π x cos ⁡ n x d x

a n = 1 π 1 n x sen ⁡ n x 0 π - 1 n ∫ 0 π sen ⁡ n x d x

a n = 1 π 1 n π sen ⁡ n π - 0 + 1 n 2 cos ⁡ n x 0 π

Como n é um inteiro, sen ⁡ n π = 0 , para qualquer valor de n . Então:

a n = 1 π 1 n 0 - 0 + 1 n 2 ( cos ⁡ n π - 1 )

a n = 1 π n 2 ( cos ⁡ n π - 1 )

a n = - 1 π n 2 ( 1 - cos ⁡ n π )

Por fim, vamos calcular b n . Ele é dado por:

b n = 1 L ∫ - L L f x sen ⁡ n π x L d x

Substituindo f ( x ) e L :

b n = 1 π ∫ - π 0 0 sen ⁡ n π x π d x + ∫ 0 π x sen ⁡ n π x π d x

b n = 1 π ∫ 0 π x sen ⁡ n x d x

b n = 1 π - 1 n x cos ⁡ n x 0 π + 1 n ∫ 0 π cos ⁡ n x d x

b n = 1 π - 1 n ( π cos ⁡ n π - 0 ) + 1 n 2 sen ⁡ n x 0 π

b n = 1 π - 1 n ( π cos ⁡ n π ) + 1 n 2 sen ⁡ n π - sen ⁡ 0

b n = - 1 n ( cos ⁡ n π )

Aplicando na função:

f x = π 2 2 + ∑ n = 1 m - 1 π n 2 ( 1 - cos ⁡ n π ) cos ⁡ n π x π - 1 n ( cos ⁡ n π ) sen ⁡ n π x π

f x = π 4 - ∑ n = 1 m 1 π n 2 1 - cos ⁡ n π cos ⁡ n x + 1 n ( cos ⁡ n π ) sen ⁡ n x

O termo 1 - cos ⁡ n π terá valor 0 para n par e valor 2 para os n ímpar. Tudo bem? Se não ficou claro, vamos usar o exemplo de n = 1 e n = 2 . Para n = 1 :

cos ⁡ π = - 1 → 1 - cos ⁡ n π = 2

Para n = 2 :

cos ⁡ 2 π = 1 → 1 - cos ⁡ n π = 0

Então, para o somatório da parte cosseno apenas os valores de n ímpar são relevantes. Para garantir que vamos somar apenas os termos ímpares vamos substituir n por 2 n - 1 e, 1 - cos ⁡ n π por 2. Tudo bem?

Então

f x = π 4 - ∑ n = 1 m 1 π ( 2 n - 1 ) 2 2 cos ⁡ ( 2 n - 1 ) x + 1 n ( cos ⁡ n π ) sen ⁡ n x

Além disso, a função cos ⁡ n π tem valor - 1 para n ímpar e 1 para n par. Então, vamos reescrevê-la como:

cos ⁡ n π = - 1 n

Nossa série fica:

f x = π 4 - ∑ n = 1 m 2 π ( 2 n - 1 ) 2 cos ⁡ ( 2 n - 1 ) x + - 1 n n sen ⁡ n x

Passo 3

Agora que temos a série de Fourier, vamos para o item (b). Ele nos pede para esboçar o gráfico da série para três períodos. Para isso, vamos utilizar o Excel para obter os coeficientes a 0 ,   a n e b n e, para realizar o somatório. Aplicando a série para os intervalos - 3 π ≤ x < - π , - π ≤ x < π e π ≤ x < 3 π , devemos obter algo da forma:

Esta foi a função obtida somando 10 termos da série. Podemos ver que a série já começa a se aproximar da função f ( x ) . Caso seja necessário uma aproximação mais fiel, deveríamos aumentar o número de termos do somatórios.

Resposta

(a) f x = π 4 - ∑ n = 1 m 2 π ( 2 n - 1 ) 2 cos ⁡ ( 2 n - 1 ) x + - 1 n n sen ⁡ n x .

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