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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 3.4 - Ex. 10

Suponha que z   =   x 3 y 2 , onde x e y estão variando com o tempo. Em um certo instante, quando x   =   1 e y   =   2 , x está decrescendo a uma taxa de 2   u n i d a d e s / s e y está crescendo a uma taxa de 3   u n i d a d e s / s . Com que rapidez z estará variando naquele instante? z   é crescente ou decrescente?

Passo 1

Já que o enunciado fala sobre a forma como x   e   y variam o tempo, podemos começar derivando a expressão dada:

d z d t   = d d t x 3 y 2

Usando a regra da derivada do produto, teremos:

d z d t   = d x 3 d t   y 2 + x 3 d y 2 d t

Agora vamos derivar, maaaas sem esquecer a regra da cadeia 😉.

d z d t   = d x 3 d x d x d t y 2 + x 3 d y 2 d y d y d t

d z d t   = 3 x 2 d x d t y 2 + x 3 2 y d y d t

Organizando melhor vamos chegar na seguinte relação:

d z d t   = 3 x 2 y 2 d x d t + 2 x 3 y d y d t

Passo 2

Nesse enunciado tem vários dados. Bora ver com calma o que eles significam?

x   =   1 e decrescendo a uma taxa de 2   u n i d a d e s / s , então d x d t =   - 2 .   Lembrando de atentar pro sinal negativo por estar decrescendo.

y   =   2 e crescendo a uma taxa de 3   u n i d a d e s / s , então d y d t = 3 .

Substituindo todos esses dados na expressão que encontramos ali em cima, ficamos com:

d z d t   = 3 x 2 y 2 d x d t + 2 x 3 y d y d t

d z d t   = 3 1 2 2 2 ( - 2 ) + 2 1 3 ( 2 ) ( 3 )

d z d t   = - 24 + 12 =   - 12 u n i d a d e s 5 s

Como d z d t < 0 ,   isso significa que z está decrescendo.

Resposta

z está decrescendo a uma taxa de - 12 u n i d a d e s 5 s

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