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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 3.9 - Ex. 15

15. No exercício 14, com que velocidade a ponta da sombra do homem está se movimentando?

Passo 1

Vamos seguir os seguintes passos para resolver qualquer questão de taxas:

  1. Leia cuidadosamente o problema.
  2. Se possível, faça um diagrama.
  3. Identificar as variáveis e as constantes do problema.
  4. Escreva uma equação que relacione as variáveis.
  5. Derive em ambos os lados em relação a t usando regra da cadeia.
  6. Substituir o que foi dado e encontrar o que foi pedido.

Imagine a situação e faça um diagrama:

Variáveis:

x-Distância de quando a sobra estava sob o homem a posição atual do homem.

y- Tamanho da sombra.

d- Distância percorrida pela ponta da sombra.

d = x + y

t- tempo

Passo 2

Como queremos a velocidade de crescimento da ponta da sombra, queremos a taxa de variação de d (falou em velocidade e taxa de variação lembre-se de derivadas), e para isso precisamos encontrar uma expressão que relacione d. Lembrando que d = x + y , observe o seguinte:

y = 2 3 x   v e j a   a   q u e s t ã o   a n t e r i o r .

y = 2 3 x ⇒   y + x = 2 3 x + x ⇒ d = 2 3 x + x ⇒ d = 5 3 x

Passo 3

Agora que temos a equação que relaciona nossas variáveis. Vamos derivar implicitamente em relação a t, ou seja, vamos derivar em ambos os lados da igualdade em relação a t (pois estamos falando de velocidade).

d = 5 3 x ⇒ d d d t = 5 3 ⋅ d x d t

Passo 4

Como x está se referindo à posição, d x d t será a velocidade, que é de 1,5   m / s . Assim, d x d t = 1,5   m / s , ou d x d t = 3 2   m / s .

Substituindo na equação do passo anterior, temos:

d d d t = 5 3 ⋅ 3 2 = 15 6 = 5 2 m / s

Logo, a velocidade de crescimento da ponta da sombra é de 5 2 m / s .

Resposta

5 2 m / s

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