Suponha que uma placa esteja imersa verticalmente em um fluido com densidade ρ e que a largura da placa seja w ( x )   a uma profundidade de x metros abaixo do nível da superfície do fluido. Se o topo da placa está a uma profundidade a e o fundo, a uma profundidade b , mostre que a força hidrostática sobre um lado da placa é

F = ∫ a b ρ g x w ( x ) d x

Passo 1

Particionando o intervalo [ a , b ] por pontos x i como normalmente, x i * ∈ x i - 1 , x i para cada i . A i - é s i m a faixa horizontal para a placa imersa é aproximada por uma retângulo de altura ∆ x i e largura w ( x i * ) , então sua área é A i ≈ w x i * ∆ x i .

Passo 2

Para pequenos valores de ∆ x i ,   a pressão P i na i - é s i m a faixa é quase constante e P i ≈ ρ g x i * pela Equação 1. A força hidrostática F i agindo na i - é s i m a faixa é F i = P i A i ≈ ρ g x i * w ( x i * ) ∆ x i . Acrescendo essas forças e fazendo o limite com n → ∞ , nós obtemos a seguinte força hidrostática:

F = lim n → ∞ ⁡ ∑ i = 1 n F i = lim n → ∞ ⁡ ∑ i = 1 n ρ g x i * w ( x i * ) ∆ x i = ∫ a b ρ g x w ( x ) d x

Resposta

∫ a b ρ g x w ( x ) d x .

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