23.Uma comporta vertical de uma represa tem a forma de um retângulo de base 4 m e altura de 2 m . O lado superior da comporta está a 0,5 m abaixo da superfície da água. Calcular a força total que a comporta está sofrendo.

Passo 1

Para essas questão, usaremos a fórmula seguinte:

F = ∫ c d w k - y [ f y - g y ]

Em que g y é a função que limita a comporta a esquerda e f y é a função que limita a comporta à direita.

w é o peso por unidade de volume

k é o nível do líquido.

Passo 2

Vamos desenhar o “gráfico” da comporta, e assim conseguiremos tirar as informações que estão nessa integral.

A comporta está em vermelho, é delimitada à esquerda pela função x = - 2 e à direita por x = 2 , pois a base precisa medir 4 !!!

Então, g y = - 2 e f y = 2

Em azul é o nível da água, então k = 2,5   m , já que a comporta é limitada por y = 2 , porém a água está um pouquinho mais acima, esse pouquinho seria 0,5   m .

A comporta é delimitada superiormente por y = 2 e inferiormente por y = 0 . Então, d = 2 e c = 0 .

Passo 3

Substituindo tudo na integral e sabendo que o peso da água por metro cúbico é w = 9.807   N e w t o n .

F = ∫ c d w k - y f y - g y d y = ∫ 0 2 9807 ( 2,5 - y ) 2 - ( - 2 ) d y = 9807 × 4   ∫ 0 2 ( 4,5 - y ) d y

Focando só na integral, temos:

F = 39.228 ∫ 0 2 ( 2,5 - y ) d y = 39.228 2,5 y - y 2 2 2 0 = 39.228   5 - 2 = 39.228 × 3 = 117.684   N

Resposta

F = 117.684   N

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