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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 8.2 - Ex. 35

Calcule a área da superfície obtida pela rotação do círculo x 2 + y 2 = r 2 em torno da reta y = r .

Passo 1

Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente calcular a área da superfície obtida pela rota��ão do círculo x 2 + y 2 = r 2 em torno da reta y = r .

Pra calcular a área da superfície de revolução em torno de uma reta y = c , vamos usar a seguinte fórmula:

A = ∫ a b 2 π c - y 1 + y ' 2 d x

Então, o que nós vamos fazer é isolar y na equação, calcular sua derivada, elevar o resultado ao quadrado, somar 1 e colocar dentro da raiz. Depois, substituímos tudo na integral, com o intervalo a ,   b = [ - r ,   r ] e integramos para obter nossa área.

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar escrevendo y em função de x na equação do círculo:

y 2 = r 2 - x 2

Tirando a raiz:

y = ± r 2 - x 2

Então, vamos dividir o círculo em dois semi-círculos, ou seja, pro semi-circulo superior, temos y = r 2 - x 2 e pro inferior y = - r 2 - x 2 .

Vamos calcular a derivada de cada semi-círculo. Para o superior, temos:

y ' = 1 2 r 2 - x 2 - 2 x

y ' = - x r 2 - x 2

E para o inferior (analogamente ao superior):

y ' = x r 2 - x 2

Então, vamos calcular a área gerada pela rotação do semi-círculo superior, usando a fórmula do passo 1 :

S = ∫ a b 2 π c - y 1 + y ' 2 d x

Então, pro semi-círculo superior:

A 1 = ∫ - r r 2 π r - r 2 - x 2 1 + - x r 2 - x 2 2 d x

A 1 = 2 π ∫ - r r r - r 2 - x 2 r 2 - x 2 + x 2 r 2 - x 2 d x

Como a região é simétrica, podemos fazer a integral duas vezes no intervalo [ 0 ,   r ] :

A 1 = 2 π ⋅ 2 ∫ 0 r r - r 2 - x 2 r r 2 - x 2 d x

A 1 = 4 π ∫ 0 r r 2 r 2 - x 2 - r d x

Passo 3

Agora, vamos calcular a área gerada pela rotação do semi-círculo inferior:

A 2 = ∫ - r r 2 π r + r 2 - x 2 1 + x r 2 - x 2 2 d x

Usando novamente a simetria da região, temos:

A 2 = 2 π ⋅ ∫ 0 r r + r 2 - x 2 r r 2 - x 2 d x

Simplificando:

A 2 = 4 π ∫ 0 r r 2 r 2 - x 2 + r d x

Então agora, podemos calcular a área inteira, basta somarmos as áreas dos dois semi-círculos para obter:

A = A 1 + A 2

A = 4 π ∫ 0 r r 2 r 2 - x 2 - r d x + 4 π ∫ 0 r r 2 r 2 - x 2 + r d x

A = 8 π ∫ 0 r r 2 r 2 - x 2 d x

Passo 4

Usando uma tabela de integrais, obtemos o resultado da integral:

8 π ∫ 0 r r 2 r 2 - x 2 d x = 8 π r 2 sin - 1 ⁡ x r 0 r

= 8 π r 2 π 2

Logo,

A = 4 π 2 r 2

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

A = 4 π 2 r 2

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