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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 8.18 - Ex. 26

26.Uma chapa retangular de 1   m de altura e 2   m de largura é imersa verticalmente num líquido, sendo que a base inferior está a 3   m da superfície do líquido. Determinar a força total exercida sobre um lado da chapa, se o líquido pesa 4.000   N

Passo 1

Para essas questão, usaremos a fórmula seguinte:

F = ∫ c d w k - y [ f y - g y ]

Em que g y é a função que limita a chapa a esquerda e f y é a função que limita a chapa à direita.

w é o peso por unidade de volume

k é o nível do líquido.

Passo 2

Vamos desenhar o “gráfico” da chapa, e assim conseguiremos tirar as informações que estão nessa integral.

A chapa está em vermelho, é delimitada à esquerda pela função x = - 1 e à direita por x = 1 , pois a base precisa medir 2 .

Então, g y = - 1 e f y = 1

Em azul é o nível da água, então k = 3   m , já que a chapa é limitada inferiormente por y = 0 , e ao nível da água está a 3   m da base inferior. Então, k = 3 + 0 = 3   m .

A chapa é delimitada superiormente por y = 1 e inferiormente por y = 0 . Então, d = 1 e c = 0 .

Passo 3

Substituindo tudo na integral e sabendo que o peso do líquido por metro cúbico é w = 4.000   N e w t o n .

F = ∫ c d w k - y f y - g y d y = ∫ 0 1 4.000 ( 3 - y ) 1 - ( - 1 ) d y = 4.000 × 2   ∫ 0 1 ( 3 - y ) d y

Focando só na integral, temos:

F = 8.000 ∫ 0 1 3 - y d y = 8.000 3 y - y 2 2 1 0 = 8.000   3 - 1 2 = 8.000 × 2,5 = 20.000   N = 2 × 10 4 N

Resposta

F = 2 × 10 4 N

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