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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 7.3 - Ex. 38

Verifique a fórmula de integração:

int x s e c h^(- 1) x d x = (x^2)/(2) sech^(- 1) x - (1)/(2) sqrt(1 - x^2) + C

Passo 1

Vamos usar a integração por partes:

int u d v = u v - int v d u

Façamos u = sech^(- 1) x e d v = x d x .

Teremos d u = - (1)/(x sqrt(1 - x^2)) d x e v = (x^2)/(2) .

Vamos montar então...

Passo 2

int x s e c h^(- 1) x d x = (x^2)/(2) sech^(- 1) x - int ( - (1)/(x sqrt(1 - x^2)) (x^2)/(2) d x )

Simplificando...

(x^2)/(2) sech^(- 1) x + (1)/(2) int (x)/(sqrt(1 - x^2)) d x ( * )

Vamos resolver essa última integral por substituição:

u = 1 - x^2 -> d u = - 2 x d x -> x d x = - (d u)/(2)

- (1)/(2) int (d u)/(sqrt(u)) d x = - (1)/(2) (- 2 sqrt(u)) = - sqrt(u) + C

Agora a gente volta pra variável x e pra integral (*):

(x^2)/(2) sech^(- 1) x + (1)/(2) (- sqrt(1 - x^2)) + C

(x^2)/(2) sech^(- 1) x - (1)/(2) sqrt(1 - x^2) + C

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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