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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 8.5 - Ex. 42

No Exercício ∫ 8 c o s 4 2 π t   d t , use fórmulas de redução para calcular as integrais.

Passo 1

O enuciado nos da uma integral de uma função trigonométrica, e para para poder reduzir precisamos usar algumas fórmulas da tabela das integrais.

Passo 2

Primeiro vamos reorganizar:

∫ 8 c o s 4 2 π t   d t = 8 ∫ c o s 4 2 π t   d t

Vamos usar a fórmula abaixo para reduzir a integral:

∫ c o s n a x   d x = c o s n - 1 a x   .   s e n   a x n . a + n - 1 n ∫ c o s n - 2 a x   d x

Substituindo:

∫ 8 c o s 4 2 π t   d t = 8 c o s 4 - 1 2 π t   .   s e n   2 π t 4.2 π + 4 - 1 4 ∫ c o s 4 - 2 2 π t   d t

= 8 c o s 3 2 π t   .   s e n   2 π t 8 π + 3 4 ∫ c o s 2 2 π t   d t

= 8 . c o s 3 2 π t   .   s e n   2 π t 8 π   + 8.3 4 ∫ c o s 2 2 π t   d t

= c o s 3 2 π t   .   s e n   2 π t π   + 6 ∫ c o s 2 2 π t   d t

Passo 3

Para continuar desenvolvendo vamos usar outra fórmula que serve pra calcular ∫ c o s 2 2 π t   d t :

∫ c o s 2 a x   d x = x 2 + s e n   2 a x 4 a

∫ 8 c o s 4 2 π t   d t = c o s 3 2 π t   .   s e n   2 π t π   + 6 t 2 + s e n   2.2 π t 4.2 π

= c o s 3 2 π t   .   s e n   2 π t π   + 6 . t 2 + 6 . s e n   4 π t 8 π

= c o s 3 2 π t   .   s e n   2 π t π   + 3 t + 3 . s e n   4 π t 4 π + c

Obs: adicionamos “c” que é a constante de integração

Resposta

∫ 8 c o s 4 2 π t   d t ,   = c o s 3 2 π t   .   s e n   2 π t π   + 3 t + 3 . s e n   4 π t 4 π + c

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