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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 11.3 - Ex. 36

O fluxo contínuo de lucros de uma empresa é crescente no tempo e em t anos o montante do lucro é proporcional a t . Mostre que o valor atual da empresa é inversamente proporcional e i 2 , onde 100 i % é a taxa de juros compostos contínua.

Passo 1

Vamos começar achando o valor atual de renda de acordo com o pagamento de rendimentos do governo britânico que ele falou

Bem, para acharmos o valor atual da renda, devemos fazer a seguinte integral:

V = ∫ 0 + ∞ f t e - i t d t

Onde f t é a função de rendimento.

A função rendimento vai ser:

f t = k t

Onde k é uma constante, isso que significa ser proporcional

Então, o que temos que calcualr e:

V = ∫ 0 + ∞ k t ∙ e - i t d t

Para resolvermos essa integral imprópria, vamos fazer o seu limite

∫ 0 + ∞ k t ∙ e - i t d t = lim b → + ∞ ⁡ ∫ 0 b k t ∙ e - i t d t

Passo 2

Vamos comerçar resolvendo a integral:

∫ k t ∙ e - i t d t

Vamos usar integração por partes. Onde fazemos

∫ u d v = u v - ∫ v d u

Lembrando do LIATE para escolher o u , temos uma função algébrica ali, então

u = k t → d u = k d t  

E

d v = e - i t → v = - 1 i e - i t

Assim, nossa integral fica:

∫ k t e - i t   d t = k t - 1 i e - i t - ∫ - 1 i e - i t k d t

∫ k t e - i t   d t = - k t i e - i t + ∫ k i e - i t d t

∫ k t e - i t   d t = - k t i e - i t - k i 2 e - i t + C

Passo 3

O nosso limite vai fiacr:

∫ 0 + ∞ k t ∙ e - i t d t = lim b → + ∞ ⁡ ∫ 0 b k t ∙ e - i t d t = lim b → + ∞ ⁡ - k t i e - i t - k i 2 e - i t 0 b

lim b → + ∞ ⁡ - k b i e - i b - k i 2 e - i b - - k 0 i e - i 0 - k i 2 e - i 0 = lim b → + ∞ ⁡ - k b i e - i b - k i 2 e - i b + k i 2

= lim b → + ∞ ⁡ - k b i e - i b + 0 + k i 2

Aquele limite que sobrou da indeterminação, vamos usar L’Hospital

lim b → + ∞ ⁡ - k b i e - i b = lim b → + ∞ ⁡ - k b i e i b = - ∞ ∞

lim b → + ∞ ⁡ - k b i e i b = lim b → + ∞ ⁡ - k b ' i e i b ' = lim b → + ∞ ⁡ - k i 2 e i b = 0

Logo, a nossa integral fica

∫ 0 + ∞ k t ∙ e - i t d t = k i 2

Isso nos diz que V é inversamente proporcional a i 2 , isso porque temos uma constante vez o inverso de i 2

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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