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Enunciado

Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 3.2 - Ex. 16

Derive.

y = 1 t 3 + 2 t 2 - 1

Passo 1

Falaii galerinha do RA, bora resolver mais uma comigo?

Vamos usar a regra do quociente para derivar a função

y = 1 t 3 + 2 t 2 - 1

Primeiro, vamos escrever a função na forma y = f t g t , onde

f t = 1   e     g t = t 3 + 2 t 2 - 1

Passo 2

Agora, usamos a regra do quociente para derivar a função:

A regra do quociente nos diz que a derivada de y   em relação a x é dada por:

d d t f t g t = g t ⋅ f ' t - f t ⋅ g ' t g t 2

Vamos calcular as derivadas de f t   e   g ( t ) :

  • f ' t = d d t 1 = 0   ( p o i s   a   d e r i v a d a   d e   u m a   c o n s t a n t e   é   z e r o )
  • g ' t = d d t t 3 + 2 t 2 - 1 = 3 t 2 + 4 t

Agora, substituímos esses valores na fórmula da derivada do quociente:

d d t 1 t 3 + 2 t 2 - 1 = t 3 + 2 t 2 - 1 ⋅ 0 - 1 ⋅ ( 3 t 2 + 4 t ) t 3 + 2 t 2 - 1 2

Passo 3

Iremos simplificar a derivada

Expandindo os termos:

d d t 1 t 3 + 2 t 2 - 1 = t 3 + 2 t 2 - 1 ⋅ 0 - 1 ⋅ ( 3 t 2 + 4 t ) t 3 + 2 t 2 - 1 2

Como o primeiro termo da multiplicação é zero, ele não contribuiu para a expressão. Então podemos simplificar como:

d d t 1 t 3 + 2 t 2 - 1 = - ( 3 t 2 + 4 t ) t 3 + 2 t 2 - 1 2

Essa é a forma simplificada da derivada da função y em relação a t

Resposta

y ' = - ( 3 t 2 + 4 t ) t 3 + 2 t 2 - 1 2

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