Enunciado

86. Suponha que f seja contínua e não negativa em [ a ,   b ] , como na figura a seguir. Ao inserir pontos

x 1 ,   x 2 ,   …   , x k - 1 ,   x k ,   …   , x n - 1

como mostrado, divida [ a ,   b ] em n subintervalos de comprimentos ∆ x 1 = x 1 - a ,   ∆ x 2 = x 2 - x 1 ,   …   , ∆ x n = b - x n - 1 , que não precisam ser iguais.

a) Se m k = m i n ⁡ { f x p a r a   x   n o   k - é s i m o   s u b i n t e r v a l o } , explique a relação entre a soma inferior:

L = m 1 ∆ x 1 + m 2 ∆ x 2 + …   + m n ∆ x n

e as regiões sombreadas na primeira parte da figura.

b) Se M k = m a x ⁡ { f x p a r a   x   n o   k - é s i m o   s u b i n t e r v a l o } , explique a relação entre a soma superior:

U = M 1 ∆ x 1 + M 2 ∆ x 2 + …   + M n ∆ x n

e as regiões sombreadas na segunda parte da figura.

c) Explique a relação U - L e as regiões sombreadas ao longo da curva na terceira parte da figura.

Passo 1

a) A conclusão que chegamos observando a figura é bastante tranquila galera, mesmo que não pareça tanto. Dando um spoiler, a resposta da b) também é bem de boa, beleza? Sabendo que a área dos retângulos é igual ao produto da lagura pela altura, então temos o seguinte:

∑ i = 1 n ∆ x i m i = L

Essa resposta faz sentido porque a região sombreada é a soma da área de todos os retângulos que estão inscritos. Ademais, vale evidenciar também que essa somatória acima são as áreas de que estamos falando, tudo bem?

Passo 2

b) A conclusão é LITERALMENTE a mesma que a da letra a), mas com uma diferença, de que não estamos mais falando de mínimos e sim de máximos. Sendo assim:

∑ i = 1 n ∆ x i M i = U

E, assim como fizemos na letra a), vale evidenciar também que essa somatória acima são as áreas de que estamos falando, de boas?

Passo 3

c) Então galera, se prestarmos atenção na terceira figura, é facilmente notável que aquela regiãozinha rachurada é a diferença entre a região da segunda figura e a da primeira figura ( U - L ) . A relação é esta.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Esboce o gráfico do integrando e use áreas para calcular a integral ∫ - 1 1 1 + 1 - x 2d x
Esboce o gráfico do integrando e use áreas para calcular a integral ∫ - 1 1 1 - xd x
Esboce o gráfico do integrando e use áreas para calcular a integral ∫ - 4 0 16 - x 2d x
Nos Exercícios 15-18, utilize uma soma finita para estimar o valor médio de f no intervalo dado, dividindo-o em quatro subintervalos de comprimento igual e avaliando f nos pontos médios dos subinterva
Nos Exercícios 1-4, use aproximações finitas para estimar a área sob a curva da função, usandoa. uma soma inferior com dois retângulos de largura igual.b. uma soma inferior com quatro retângulos de la