Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 15.Revisão - Ex. 53
Suponha que seja contínua sobre um disco que contém o ponto Seja o disco fechado com centro em e raio . Utilize o Teorema do Valor Médio para as integrais duplas (veja o Exercício 52) para mostrar que
Passo 1
Fala meus consagrados, tudo bem com vocês?
Nessa questão, precisamos utilizar o teorema do valor média para integrais duplas. Vamos começar lembrando o que esse teorema fala que se é uma função de duas variáveis definida no conjunto , então o valor médio de pode ser calculado como:
onde é a área da região .
Passo 2
Vamos aplicar a ideia acima para resolvermos a demonstração pedida. Nossa região será um disco de raio . Assim, a área será a área de um círculo que é dada por:
Dessa forma, temos que:
Passo 3
O que queremos é o limite, pegando círculos cada vez menores:
Porém, pense o seguinte:
- Estamos pegando valores cada vez menores do raio;
- No limite de o nosso círculo se resume a um ponto;
- Como é um ponto do círculo, e o círculo se resumo a um ponto, então será esse ponto;
- Como a função se resume a um único ponto, então o valor médio dela deve valer o valor sobre o próprio ponto, ou seja:
Dessa forma, temos que:
E assim, demonstramos o que foi pedido.