Suponha que f seja contínua sobre um disco que contém o ponto ( a ,   b ) . Seja D r o disco fechado com centro em ( a ,   b ) e raio r . Utilize o Teorema do Valor Médio para as integrais duplas (veja o Exercício 52) para mostrar que

lim r → 0 ⁡ 1 π r 2 ⋅   ∬ D r f x , y   d A = f a , b

Passo 1

Fala meus consagrados, tudo bem com vocês?

Nessa questão, precisamos utilizar o teorema do valor média para integrais duplas. Vamos começar lembrando o que esse teorema fala que se f é uma função de duas variáveis definida no conjunto R ⊂ R 2 , então o valor médio de f pode ser calculado como:

f m é d i o = 1 A R ∬ R f x , y   d A

onde A R é a área da região R .

Passo 2

Vamos aplicar a ideia acima para resolvermos a demonstração pedida. Nossa região R será um disco de raio r . Assim, a área será a área de um círculo que é dada por:

A R = π r 2

Dessa forma, temos que:

1 π r 2 ∬ D r f x , y   d A = f m é d i o

Passo 3

O que queremos é o limite, pegando círculos cada vez menores:

lim r → 0 + ⁡ 1 π r 2 ∬ D r f x , y   d A = lim r → 0 + ⁡ f m é d i o

Porém, pense o seguinte:

  • Estamos pegando valores cada vez menores do raio;
  • No limite de r → 0 + o nosso círculo se resume a um ponto;
  • Como a , b é um ponto do círculo, e o círculo se resumo a um ponto, então a , b será esse ponto;
  • Como a função se resume a um único ponto, então o valor médio dela deve valer o valor sobre o próprio ponto, ou seja:

lim r → 0 + ⁡ f m é d i o = f a , b

Dessa forma, temos que:

lim r → 0 + ⁡ 1 π r 2 ∬ D r f x , y   d A = f a , b

E assim, demonstramos o que foi pedido.

Resposta

D e m o n s t r a ç ã o

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados