Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 1.1 - Ex. 79
Se e são funções pares, é par? Se e são funções impares, é impar? O que se pode dizer se for par e for ímpar?
Passo 1
Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!
O enunciado pediu pra gente verificar alguns resultados em operações com funções pares e ímpares. Primeiro, sabendo que e são funções pares, precisamos verificar se também é par.
Segundo, sabendo que e são funções impares, precisamos saber se gera uma função ímpar como resultado. E por fim, ele quer saber o que se pode dizer se for par e for ímpar.
Para fazer essas verificações, precisamos lembrar que se e são funções pares, temos, por definição:
E,
Além disso, se e são funções ímpares, temos por definição:
E,
Então, vamos partir dessas definições e verificar se o resultado da soma dessas funções é par ou ímpar.
Vamos lá!
Passo 2
Sabendo que e são funções pares, vamos soma-las:
Usando e , temos:
Logo,
Isto quer dizer que a soma das funções e é par.
Passo 3
Vamos responder à segunda pergunta agora. Fazendo também a soma das funções:
Fazendo , temos:
E agora considerando e , funções ímpares, temos:
Logo,
Isto significa que a soma de suas funções ímpares também resulta em uma função ímpar.
Passo 4
Na terceira pergunta, ele quer saber o que se pode dizer se for par e for ímpar.
Nesse caso, nada podemos afirmar. Porque, por exemplo, sendo , temos que é par e tomando que é ímpar, vamos ter a soma:
Por outro lado,
E o resultado muda. Então, a soma não é par nem ímpar. Exceto se for zero, aí teremos como uma função ímpar, ou se for zero e teremos par.
Valeu, galera! Até a próxima! 😉