Prove que se a_0 / 1 + a_1 / 2 + ... + a_n / (n + 1) = 0 , então a0 + a1 * x + … + an * x^n = 0 tem pelo menos uma raiz real em ]0, 1[ .

Passo 1

Como a função é polinomial, podemos dizer que ela é contínua e derivável no intervalo de ] 0,1 [ , assim sendo, podemos aplicar o teorema de Rolle que diz:

Seja f uma função contínua em [ a ,   b ] e derivável em ( a ,   b ) . Se f ( a )   =   f ( b ) , então existe c pertencente ( a ,   b ) tal que f ' c = 0

Agora vamos aplicar!

Passo 2

Sendo a função dada contínua em 0,1 , derivável em ] 0,1 [ e assumindo que para 0 e 1 a função tem valores iguais a a 0 , então existe pelo menos um c em ] 0,1 [ tal que f ´ c = 0

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Faça um esboço do gráfico da função no intervalo indicado;Teste as três condições (i), (ii) e (iii) das hipóteses do teorema de Rolle e determine quais entre elas são satisfeitas;Se as três condições
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17.a. Demonstre que a equação x^4 + 2x^2 - 2 = 0 tem exatamente uma solução em [0, 1] . b. Determine a solução com o maior número de casas decimais que voce conseguir.
18.a. Demonstre que f(x) = x / (x + 1) é crescente em cada intervalo de seu domínio.
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